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Beliebt Trigonometrie >

sec(2x)+tan(2x)=9

Lösung

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

Lösung

x = \frac{1.34948 \dots}{2} + πn

Grad

x = 38.65980 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

Subtrahiere

9

von beiden Seiten

sec (2 x) + tan (2 x) - 9 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 9 = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 9 : \frac{1 + sin ( 2 x ) - 9 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 9

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - 9

Wandle das Element in einen Bruch um:

9 = \frac{9 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{9 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( 2 x ) - 9 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1 + sin ( 2 x ) - 9 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + sin (2 x) - 9 cos (2 x) = 0

Füge

9 cos (2 x)

zu beiden Seiten hinzu

1 + sin (2 x) = 9 cos (2 x)

Quadriere beide Seiten

(1 + sin (2 x))^{2} = (9 cos (2 x))^{2}

Subtrahiere

(9 cos (2 x))^{2}

von beiden Seiten

(1 + sin (2 x))^{2} - 81 cos^{2} (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + sin (2 x))^{2} - 81 cos^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (2 x))^{2} - 81 (1 - sin^{2} (2 x))

Vereinfache

(1 + sin (2 x))^{2} - 81 (1 - sin^{2} (2 x)) : 82 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 80

(1 + sin (2 x))^{2} - 81 (1 - sin^{2} (2 x))

(1 + sin (2 x))^{2} : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (2 x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 81 (1 - sin^{2} (2 x))

Multipliziere aus

- 81 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 81 + 81 sin^{2} (2 x)

- 81 (1 - sin^{2} (2 x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 81, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 81 \cdot 1 - (- 81) sin^{2} (2 x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 81 \cdot 1 + 81 sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

81 \cdot 1 = 81

= - 81 + 81 sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 81 + 81 sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 81 + 81 sin^{2} (2 x) : 82 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 80

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 81 + 81 sin^{2} (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 81 sin^{2} (2 x) + 1 - 81

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (2 x) + 81 sin^{2} (2 x) = 82 sin^{2} (2 x)

= 2 sin (2 x) + 82 sin^{2} (2 x) + 1 - 81

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 81 = - 80

= 82 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 80

= 82 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 80

= 82 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 80

- 80 + 2 sin (2 x) + 82 sin^{2} (2 x) = 0

Löse mit Substitution

- 80 + 2 sin (2 x) + 82 sin^{2} (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

- 80 + 2 u + 82 u^{2} = 0

- 80 + 2 u + 82 u^{2} = 0 : u = \frac{40}{41}, u = - 1

- 80 + 2 u + 82 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

82 u^{2} + 2 u - 80 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

82 u^{2} + 2 u - 80 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 82, b = 2, c = - 80

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 82 ( - 80 )}{2 \cdot 82}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 82 ( - 80 )}{2 \cdot 82}

2^{2} - 4 \cdot 82 (- 80) = 162

2^{2} - 4 \cdot 82 (- 80)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 82 \cdot 80

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 82 \cdot 80 = 26240

= 2^{2} + 26240

2^{2} = 4

= 4 + 26240

Addiere die Zahlen:

4 + 26240 = 26244

= 26244

Faktorisiere die Zahl:

26244 = 16 2^{2}

= 16 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

16 2^{2} = 162

= 162

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 162}{2 \cdot 82}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 162}{2 \cdot 82}, u_{2} = \frac{- 2 - 162}{2 \cdot 82}

u = \frac{- 2 + 162}{2 \cdot 82} : \frac{40}{41}

\frac{- 2 + 162}{2 \cdot 82}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 162 = 160

= \frac{160}{2 \cdot 82}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 82 = 164

= \frac{160}{164}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{40}{41}

u = \frac{- 2 - 162}{2 \cdot 82} : - 1

\frac{- 2 - 162}{2 \cdot 82}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 162 = - 164

= \frac{- 164}{2 \cdot 82}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 82 = 164

= \frac{- 164}{164}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{164}{164}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{40}{41}, u = - 1

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = \frac{40}{41}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{40}{41}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{40}{41} : x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{40}{41}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 x) = \frac{40}{41}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{40}{41}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn

Löse

2 x = arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

Löse

2 x = π - arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π - arcsin (\frac{40}{41}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

sin (2 x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (2 x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn :

Wahr

\frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

ein, um zu lösen

sec (2 (\frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1)) + tan (2 (\frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1)) = 9

Fasse zusammen

9 = 9

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn :

Falsch

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

ein, um zu lösen

sec (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1)) + tan (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + π 1)) = 9

Fasse zusammen

- 9 = 9

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{4} + πn :

Falsch

\frac{3 π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{3 π}{4} + π 1

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

ein, um zu lösen

sec (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) + tan (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) = 9

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

x = \frac{arcsin ( \frac{40}{41} )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{1.34948 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(4x)-tan(2x)=0

tan (4 x) - tan (2 x) = 0

solvefor t,sin(t)+2sin(2t)=0

so l v e f or t, sin (t) + 2 sin (2 t) = 0

tan^2(x)-sin(x)tan^2(x)=0

tan^{2} (x) - sin (x) tan^{2} (x) = 0

4sin(x)=2.54648

4 sin (x) = 2.54648

5sec^3(x)-20sec(x)=0

5 sec^{3} (x) - 20 sec (x) = 0