English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярный >

arccos(2x)+arccos(x)= pi/3

Решение

arccos (2 x) + arccos (x) = \frac{π}{3}

Решение

x = \frac{1}{2}

Шаги решения

arccos (2 x) + arccos (x) = \frac{π}{3}

Перепишите используя тригонометрические тождества

arccos (2 x) + arccos (x)

Используйте тождество суммы к произведению:

arccos (s) + arccos (t) = arccos (s t - (1 - s^{2}) (1 - t^{2}))

= arccos (2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))

arccos (2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})) = \frac{π}{3}

Примените обратные тригонометрические свойства

arccos (2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})) = \frac{π}{3}

arccos (x) = a \Rightarrow x = cos (a)

2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = cos (\frac{π}{3})

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

Используйте следующее тривиальное тождество:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = \frac{1}{2}

2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = \frac{1}{2}

Решить

2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = \frac{1}{2} : x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = \frac{1}{2}

Умножьте обе части на

2

2 xx \cdot 2 - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 2

После упрощения получаем

4 x^{2} - 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = 1

Удалите квадратные корни

4 x^{2} - 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = 1

Вычтите

4 x^{2}

с обеих сторон

4 x^{2} - 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) - 4 x^{2} = 1 - 4 x^{2}

После упрощения получаем

- 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = 1 - 4 x^{2}

Возведите в квадрат обе части:

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

4 x^{2} - 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = 1

(- 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2} = (1 - 4 x^{2})^{2}

Расширьте

(- 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2} : 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

(- 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2}

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2} = (2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2}

= (2 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2}

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} ((1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2}

((1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{2} : (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})

Примените правило радикалов:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (((1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{\frac{1}{2}})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= ((1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}))^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Отмените общий множитель:

2

= 1

= (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})

= 2^{2} (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})

2^{2} = 4

= 4 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})

Расширьте

4 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) : 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

4 (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2})

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4 (- 2^{2} x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)

2^{2} = 4

= 4 (- 4 x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)

Расширить

(1 - 4 x^{2}) (1 - x^{2}) : 1 - 5 x^{2} + 4 x^{4}

(1 - 4 x^{2}) (1 - x^{2})

Примените метод ПВВП :

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = 1, b = - 4 x^{2}, c = 1, d = - x^{2}

= 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- x^{2}) + (- 4 x^{2}) \cdot 1 + (- 4 x^{2}) (- x^{2})

Применение правил минус-плюс

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= 1 \cdot 1 - 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x^{2}

Упростить

1 \cdot 1 - 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x^{2} : 1 - 5 x^{2} + 4 x^{4}

1 \cdot 1 - 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x^{2}

1 \cdot 1 = 1

1 \cdot 1

Перемножьте числа:

1 \cdot 1 = 1

= 1

1 \cdot x^{2} = x^{2}

1 \cdot x^{2}

Умножьте:

1 \cdot x^{2} = x^{2}

= x^{2}

4 \cdot 1 \cdot x^{2} = 4 x^{2}

4 \cdot 1 \cdot x^{2}

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 = 4

= 4 x^{2}

4 x^{2} x^{2} = 4 x^{4}

4 x^{2} x^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 4 x^{2 + 2}

Добавьте числа:

2 + 2 = 4

= 4 x^{4}

= 1 - x^{2} - 4 x^{2} + 4 x^{4}

Добавьте похожие элементы:

- x^{2} - 4 x^{2} = - 5 x^{2}

= 1 - 5 x^{2} + 4 x^{4}

= 1 - 5 x^{2} + 4 x^{4}

= 4 (1 - 5 x^{2} + 4 x^{4})

Расширить

4 (1 - 5 x^{2} + 4 x^{4}) : 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

4 (1 - 5 x^{2} + 4 x^{4})

Расставьте скобки

= 4 \cdot 1 + 4 (- 5 x^{2}) + 4 \cdot 4 x^{4}

Применение правил минус-плюс

+ (- a) = - a

= 4 \cdot 1 - 4 \cdot 5 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{4}

Упростить

4 \cdot 1 - 4 \cdot 5 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{4} : 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

4 \cdot 1 - 4 \cdot 5 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{4}

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 \cdot 5 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{4}

Перемножьте числа:

4 \cdot 5 = 20

= 4 - 20 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{4}

Перемножьте числа:

4 \cdot 4 = 16

= 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

= 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

= 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

= 4 - 20 x^{2} + 16 x^{4}

Расширьте

(1 - 4 x^{2})^{2} : 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

(1 - 4 x^{2})^{2}

Примените формулу полного квадрата:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = 4 x^{2}

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 4 x^{2} + (4 x^{2})^{2}

Упростить

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 4 x^{2} + (4 x^{2})^{2} : 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 4 x^{2} + (4 x^{2})^{2}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot 4 x^{2} + (4 x^{2})^{2}

2 \cdot 1 \cdot 4 x^{2} = 8 x^{2}

2 \cdot 1 \cdot 4 x^{2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 \cdot 4 = 8

= 8 x^{2}

(4 x^{2})^{2} = 16 x^{4}

(4 x^{2})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (x^{2})^{2}

(x^{2})^{2} : x^{4}

Примените правило возведения в степень:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= x^{4}

= 4^{2} x^{4}

4^{2} = 16

= 16 x^{4}

= 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

= 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

Решить

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4} : x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

Переместите

4

вправо

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4}

Вычтите

4

с обеих сторон

4 - 20 x^{2} + 16 x^{4} - 4 = 1 - 8 x^{2} + 16 x^{4} - 4

После упрощения получаем

- 20 x^{2} + 16 x^{4} = 16 x^{4} - 8 x^{2} - 3

- 20 x^{2} + 16 x^{4} = 16 x^{4} - 8 x^{2} - 3

Переместите

8 x^{2}

влево

- 20 x^{2} + 16 x^{4} = 16 x^{4} - 8 x^{2} - 3

Добавьте

8 x^{2}

к обеим сторонам

- 20 x^{2} + 16 x^{4} + 8 x^{2} = 16 x^{4} - 8 x^{2} - 3 + 8 x^{2}

После упрощения получаем

16 x^{4} - 12 x^{2} = 16 x^{4} - 3

16 x^{4} - 12 x^{2} = 16 x^{4} - 3

Переместите

16 x^{4}

влево

16 x^{4} - 12 x^{2} = 16 x^{4} - 3

Вычтите

16 x^{4}

с обеих сторон

16 x^{4} - 12 x^{2} - 16 x^{4} = 16 x^{4} - 3 - 16 x^{4}

После упрощения получаем

- 12 x^{2} = - 3

- 12 x^{2} = - 3

Разделите обе стороны на

- 12

- 12 x^{2} = - 3

Разделите обе стороны на

- 12

\frac{- 12 x ^{2}}{- 12} = \frac{- 3}{- 12}

После упрощения получаем

\frac{- 12 x ^{2}}{- 12} = \frac{- 3}{- 12}

Упростите

\frac{- 12 x ^{2}}{- 12} : x^{2}

\frac{- 12 x ^{2}}{- 12}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12 x ^{2}}{12}

Разделите числа:

\frac{12}{12} = 1

= x^{2}

Упростите

\frac{- 3}{- 12} : \frac{1}{4}

\frac{- 3}{- 12}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3}{12}

Отмените общий множитель:

3

= \frac{1}{4}

x^{2} = \frac{1}{4}

x^{2} = \frac{1}{4}

x^{2} = \frac{1}{4}

Для

x^{2} = f (a)

решениями являются

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{4}, x = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Примените правило радикалов:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Примените правило радикалов:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Примените правило радикалов:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Примените правило радикалов:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

Проверьте решения:

x = \frac{1}{2}

Верно

, x = - \frac{1}{2}

Верно

Проверьте решения, вставив их в

2 xx - (1 - (2 x)^{2}) (1 - x^{2}) = \frac{1}{2}

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Подставьте

x = \frac{1}{2} :

Верно

2 (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) - (1 - (2 (\frac{1}{2}))^{2}) (1 - (\frac{1}{2})^{2}) = \frac{1}{2}

2 (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) - (1 - (2 (\frac{1}{2}))^{2}) (1 - (\frac{1}{2})^{2}) = \frac{1}{2}

2 (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) - (1 - (2 (\frac{1}{2}))^{2}) (1 - (\frac{1}{2})^{2})

Уберите скобки:

(a) = a

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - (1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2}) (1 - (\frac{1}{2})^{2})

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{1 \cdot 1}{2}

Перемножьте числа:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{2}

(1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2}) (1 - (\frac{1}{2})^{2}) = 0

(1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2}) (1 - (\frac{1}{2})^{2})

(2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 1

(2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

Умножьте

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Отмените общий множитель:

2

= 1

= 1^{2}

Примените правило

1^{a} = 1

= 1

= (1 - 1) (- (\frac{1}{2})^{2} + 1)

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= (1 - 1) (- \frac{1}{4} + 1)

Вычтите числа:

1 - 1 = 0

= 0 \cdot (- \frac{1}{4} + 1)

Присоединить

1 - \frac{1}{4}

к одной дроби:

\frac{3}{4}

1 - \frac{1}{4}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Перемножьте числа:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Вычтите числа:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

= 0 \cdot \frac{3}{4}

Примените правило

0 \cdot a = 0

= 0

Примените правило

0 = 0

= 0

= \frac{1}{2} - 0

\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Верно

Подставьте

x = - \frac{1}{2} :

Верно

2 (- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2}) - (1 - (2 (- \frac{1}{2}))^{2}) (1 - (- \frac{1}{2})^{2}) = \frac{1}{2}

2 (- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2}) - (1 - (2 (- \frac{1}{2}))^{2}) (1 - (- \frac{1}{2})^{2}) = \frac{1}{2}

2 (- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2}) - (1 - (2 (- \frac{1}{2}))^{2}) (1 - (- \frac{1}{2})^{2})

Уберите скобки:

(- a) = - a, - (- a) = a

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - (1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}) (1 - (- \frac{1}{2})^{2})

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{1 \cdot 1}{2}

Перемножьте числа:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{2}

(1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}) (1 - (- \frac{1}{2})^{2}) = 0

(1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}) (1 - (- \frac{1}{2})^{2})

(- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 1

(- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

Умножьте

- 2 \cdot \frac{1}{2} : - 1

- 2 \cdot \frac{1}{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot 2}{2}

Отмените общий множитель:

2

= - 1

= (- 1)^{2}

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Примените правило

1^{a} = 1

= 1

= (1 - 1) (- (- \frac{1}{2})^{2} + 1)

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(- \frac{1}{2})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= (1 - 1) (- \frac{1}{4} + 1)

Вычтите числа:

1 - 1 = 0

= 0 \cdot (- \frac{1}{4} + 1)

Присоединить

1 - \frac{1}{4}

к одной дроби:

\frac{3}{4}

1 - \frac{1}{4}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Перемножьте числа:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Вычтите числа:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

= 0 \cdot \frac{3}{4}

Примените правило

0 \cdot a = 0

= 0

Примените правило

0 = 0

= 0

= \frac{1}{2} - 0

\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Верно

Решениями являются

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

arccos (2 x) + arccos (x) = \frac{π}{3}

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

\frac{1}{2} :

Верно

\frac{1}{2}

Подставьте

n = 1

\frac{1}{2}

Для

arccos (2 x) + arccos (x) = \frac{π}{3}

подключите

x = \frac{1}{2}

arccos (2 \cdot \frac{1}{2}) + arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

Уточнить

1.04719 \dots = 1.04719 \dots

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

- \frac{1}{2} :

Неверно

- \frac{1}{2}

Подставьте

n = 1

- \frac{1}{2}

Для

arccos (2 x) + arccos (x) = \frac{π}{3}

подключите

x = - \frac{1}{2}

arccos (2 (- \frac{1}{2})) + arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

Уточнить

5.23598 \dots = 1.04719 \dots

\Rightarrow Неверно

x = \frac{1}{2}

arccos(2x)+arccos(x)= pi/3

Решение

Решение

Популярные примеры