English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

פתרון

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

פתרון

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

סימון מרווחים

[arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{2 π}{3} + 2 πn, π + 2 πn]

עשרוני

0.90455 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.14159 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

cos (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

cos (x) \leq sin^{2} (x) : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq sin^{2} (x)

לצד שמאל

sin^{2} (x)

העבר

cos (x) \leq sin^{2} (x)

משני האגפים

sin^{2} (x)

החסר

cos (x) - sin^{2} (x) \leq sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:השתמש בזהות הבאה

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

לכן

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \leq 0

פשט

cos (x) - 1 + cos^{2} (x) \leq 0

u = cos (x) :

נניח ש

u - 1 + u^{2} \leq 0

u - 1 + u^{2} \leq 0 : \frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

u - 1 + u^{2} \leq 0

u - 1 + u^{2}

השלמה לריבוע:

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

u - 1 + u^{2}

a x^{2} + b x + c

כתוב בצורה הסטנדרטית

u^{2} + u - 1

x^{2} + 2 a x + a^{2} :

בצורה של

u^{2} + u - 1

כתוב את

2 a = 1 : a = \frac{1}{2}

2 a = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 a = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}

פשט

a = \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2}

הוסף והחסר

u^{2} + u - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} + 1 u + (\frac{1}{2})^{2} = (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} - 1 - (\frac{1}{2})^{2}

פשט

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

לצד ימין

\frac{5}{4}

העבר

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

לשני האגפים

\frac{5}{4}

הוסף

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \leq 0 + \frac{5}{4}

פשט

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

For

u^{n} \leq a

, if

n

is even then

- n a \leq u \leq n a

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} and u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} : u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2}

הפוך את האגפים

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{4}

\frac{5}{4}

פשט את:

\frac{5}{2}

\frac{5}{4}

a \geq 0, b \geq 0

בהנחה ש

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:הפעל את חוק השורשים

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

לצד ימין

\frac{1}{2}

העבר

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

משני האגפים

\frac{1}{2}

החסר

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

פשט

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

פשט את:

u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq 0 :

חבר איברים דומים

= u

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

פשט את:

\frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4} : u \leq \frac{5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

a \geq 0, b \geq 0

בהנחה ש

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:הפעל את חוק השורשים

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

לצד ימין

\frac{1}{2}

העבר

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

משני האגפים

\frac{1}{2}

החסר

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

פשט

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

פשט את:

u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq 0 :

חבר איברים דומים

= u

\frac{5}{2} - \frac{1}{2}

פשט את:

\frac{5 - 1}{2}

\frac{5}{2} - \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

אחד את הטווחים

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

מזג טווחים חופפים

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

החיתוך של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים בשני הטווחים

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

וגם

u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

u = cos (x)

החלף בחזרה

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) : x \in R

מתקיים לכל

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x)

הפוך את האגפים

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2}

cos (x)

הטווח של:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

הגדרת טווח הפונקציה

- 1 \leq cos (x) \leq 1

היא

cos

התמונה של הפונקציה

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

y = cos (x)

החלף

אחד את הטווחים

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

מזג טווחים חופפים

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

החיתוך של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים בשני הטווחים

y \geq \frac{- 5 - 1}{2}

וגם

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

מתקיים לכל x

x \in R מתקיים לכל

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2} : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

For

cos (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

אחד את הטווחים

x \in R מתקיים לכל and arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

מזג טווחים חופפים

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

u = sin (x) :

נניח ש

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

שכתב בצורה סטנדרטית

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

משני האגפים

\frac{3}{2} u

החסר

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

פשט

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

2

הכפל את שני האגפים ב

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u

פרק לגורמים את:

u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

u

הוצא את הגורם המשותף

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

1 \cdot 2 = 2 :

הכפל את המספרים

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

זהה את הטווחים השונים

u (2 u - 3)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

u

:חשב את הסימן עבור

u = 0

u < 0

u > 0

2 u - 3

:חשב את הסימן עבור

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

לצד ימין

3

העבר

2 u - 3 = 0

לשני האגפים

3

הוסף

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

פשט

2 u = 3

2 u = 3

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 3

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

פשט

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

לצד ימין

3

העבר

2 u - 3 < 0

לשני האגפים

3

הוסף

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

פשט

2 u < 3

2 u < 3

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 3

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

פשט

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

לצד ימין

3

העבר

2 u - 3 > 0

לשני האגפים

3

הוסף

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

פשט

2 u > 3

2 u > 3

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 3

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

פשט

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

סכם בטבלה

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

\leq 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

מזג טווחים חופפים

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

u = 0

או

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

0 \leq u < \frac{3}{2}

או

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u = sin (x)

החלף בחזרה

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

הפוך את האגפים

sin (x) \geq 0

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

arcsin (0)

פשט את:

0

arcsin (0)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

π - arcsin (0)

פשט את:

π

π - arcsin (0)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

פשט

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2})

פשט את:

- \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

פשט

- π - \frac{π}{3}

π = \frac{π 3}{3}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- π 3 - π}{3}

- 3 π - π = - 4 π :

חבר איברים דומים

= \frac{- 4 π}{3}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

פשט את:

\frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

אחד את הטווחים

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

אחד את הטווחים

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

מזג טווחים חופפים

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

דוגמאות פופולריות

sin(x)= 1/(sqrt(5))\land cos(x)<0

sin (x) = \frac{1}{5} and cos (x) < 0

cot(θ)<0\land sec(θ)>0

cot (θ) < 0 and sec (θ) > 0

6sin(x)0<= x<= (3pi)/2

6 sin (x) 0 \leq x \leq \frac{3 π}{2}

-1<=-cos(2x)<= 1

- 1 \leq - cos (2 x) \leq 1

0<= 2sin(3x)+1<2pi

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 < 2 π