integral of (x^2)/((x+1)(x+2)^2)

解

\int \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ^{2}} d x

ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{4}{x + 2} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ^{2}} : \frac{1}{x + 1} - \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}}

= \int \frac{1}{x + 1} - \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{x + 1} d x - \int \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{x + 1} d x = ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}} d x = - \frac{4}{x + 2}

= ln ∣ x + 1 ∣ - (- \frac{4}{x + 2})

簡素化

= ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{4}{x + 2}

定数を解答に追加する

= ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{4}{x + 2} + C