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Beliebt Trigonometrie >

(sin^2(x)-2cos(x)+1)/4 =0

Lösung

\frac{sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( x ) + 1}{4} = 0

Lösung

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Grad

x = 42.94140 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 317.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( x ) + 1}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (x) - 2 cos (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + sin^{2} (x) - 2 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 + 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x)

Vereinfache

= - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 2

2 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

2 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 - u^{2} - 2 u = 0

2 - u^{2} - 2 u = 0 : u = - 1 - 3, u = 3 - 1

2 - u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 2 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 2 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 23

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 3}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 1 )} : - 1 - 3

\frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 3}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 3}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 3}{2}

Streiche

\frac{2 + 2 3}{2} : 1 + 3

\frac{2 + 2 3}{2}

Faktorisiere

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 3

= - (1 + 3)

Setze Klammern

= - (1) - (3)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 1 - 3

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 1 )} : 3 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 3}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 3}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 23 = - (23 - 2)

= \frac{2 3 - 2}{2}

Faktorisiere

23 - 2 : 2 (3 - 1)

23 - 2

Schreibe um

= 23 - 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 1)

= \frac{2 ( 3 - 1 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1 - 3, u = 3 - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1 - 3, cos (x) = 3 - 1

cos (x) = - 1 - 3, cos (x) = 3 - 1

cos (x) = - 1 - 3 :

Keine Lösung

cos (x) = - 1 - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 3 - 1 : x = arccos (3 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 - 1) + 2 πn

cos (x) = 3 - 1

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 3 - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 3 - 1

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (3 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 - 1) + 2 πn

x = arccos (3 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 - 1) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (3 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 - 1) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)+cos^4(x)+cos^6(x)=0

sin(x)=(-1)/4

sin^4(x)-sin^2(x)=0

(cos(t)-4)(2sin^2(t)-1)=0

sin(75)= x/9