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Beliebt Trigonometrie >

-6sin(x)-5cos(x)=2

Lösung

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

Lösung

x = 2.70581 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.95369 \dots + 2 πn

Grad

x = 155.03164 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 305.35720 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

Füge

5 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

- 6 sin (x) = 2 + 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(- 6 sin (x))^{2} = (2 + 5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + 5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

36 sin^{2} (x) - 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) : - 61 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 32

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

36 (1 - cos^{2} (x)) : 36 - 36 cos^{2} (x)

36 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 cos^{2} (x)

= - 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) : - 61 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 32

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) - 4 + 36

Addiere gleiche Elemente:

- 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 61 cos^{2} (x)

= - 20 cos (x) - 61 cos^{2} (x) - 4 + 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 36 = 32

= - 61 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 32

= - 61 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 32

= - 61 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 32

32 - 20 cos (x) - 61 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

32 - 20 cos (x) - 61 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

32 - 20 u - 61 u^{2} = 0

32 - 20 u - 61 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}, u = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

32 - 20 u - 61 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 61 u^{2} - 20 u + 32 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 61 u^{2} - 20 u + 32 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 61, b = - 20, c = 32

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) \cdot 32}{2 ( - 61 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) \cdot 32}{2 ( - 61 )}

(- 20)^{2} - 4 (- 61) \cdot 32 = 1257

(- 20)^{2} - 4 (- 61) \cdot 32

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 20)^{2} + 4 \cdot 61 \cdot 32

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 20)^{2} = 2 0^{2}

= 2 0^{2} + 4 \cdot 61 \cdot 32

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 61 \cdot 32 = 7808

= 2 0^{2} + 7808

2 0^{2} = 400

= 400 + 7808

Addiere die Zahlen:

400 + 7808 = 8208

= 8208

Primfaktorzerlegung von

8208 : 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 19

8208

8208

ist durch

28208 = 4104 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4104

4104

ist durch

24104 = 2052 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2052

2052

ist durch

22052 = 1026 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1026

1026

ist durch

21026 = 513 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 513

513

ist durch

3513 = 171 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 171

171

ist durch

3171 = 57 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 57

57

ist durch

357 = 19 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19

2, 3, 19

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 19

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 19

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{4} 3^{2} 3 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 3 3 \cdot 19

Fasse zusammen

= 1257

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm 12 57}{2 ( - 61 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 20 ) + 12 57}{2 ( - 61 )}, u_{2} = \frac{- ( - 20 ) - 12 57}{2 ( - 61 )}

u = \frac{- ( - 20 ) + 12 57}{2 ( - 61 )} : - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

\frac{- ( - 20 ) + 12 57}{2 ( - 61 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 + 12 57}{- 2 \cdot 61}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{20 + 12 57}{- 122}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20 + 12 57}{122}

Streiche

\frac{20 + 12 57}{122} : \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

\frac{20 + 12 57}{122}

Faktorisiere

20 + 1257 : 4 (5 + 357)

20 + 1257

Schreibe um

= 4 \cdot 5 + 4 \cdot 357

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (5 + 357)

= \frac{4 ( 5 + 3 57 )}{122}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

= - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

u = \frac{- ( - 20 ) - 12 57}{2 ( - 61 )} : \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

\frac{- ( - 20 ) - 12 57}{2 ( - 61 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 - 12 57}{- 2 \cdot 61}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{20 - 12 57}{- 122}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

20 - 1257 = - (1257 - 20)

= \frac{12 57 - 20}{122}

Faktorisiere

1257 - 20 : 4 (357 - 5)

1257 - 20

Schreibe um

= 4 \cdot 357 - 4 \cdot 5

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (357 - 5)

= \frac{4 ( 3 57 - 5 )}{122}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}, u = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}, cos (x) = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

cos (x) = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}, cos (x) = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

cos (x) = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61} : x = arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61} : x = arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

- 6 sin (arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

- 6 sin (- arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

7.06541 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

- 6 sin (arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 7.78672 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1

- 6 sin (x) - 5 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

- 6 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

x = arccos (- \frac{2 ( 5 + 3 57 )}{61}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 57 - 5 )}{61}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.70581 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.95369 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)+cos^2(x)=2

2 sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2

2sin^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)=1

2 sin^{2} (x) + sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1

sin^2(x)+3cos(x)-1=0

sin^{2} (x) + 3 cos (x) - 1 = 0

cos((3x-7)/2)=0

cos (\frac{3 x - 7}{2}) = 0

3tan^2(x)= 8/(sin^2(x))

3 tan^{2} (x) = \frac{8}{sin ^{2} ( x )}