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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)=2-3sin(x)

Lösung

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

Lösung

x = 0.36296 \dots + 2 πn, x = π - 1.00646 \dots + 2 πn

Grad

x = 20.79657 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 122.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (2 - 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 - 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - 4 + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + cos^{2} (x) + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - sin^{2} (x) + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 4 + 1 - sin^{2} (x) + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) : 12 sin (x) - 10 sin^{2} (x) - 3

- 4 + 1 - sin^{2} (x) + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (x) + 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 4 + 1

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 10 sin^{2} (x)

= - 10 sin^{2} (x) + 12 sin (x) - 4 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 1 = - 3

= 12 sin (x) - 10 sin^{2} (x) - 3

= 12 sin (x) - 10 sin^{2} (x) - 3

- 3 - 10 sin^{2} (x) + 12 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - 10 sin^{2} (x) + 12 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 3 - 10 u^{2} + 12 u = 0

- 3 - 10 u^{2} + 12 u = 0 : u = \frac{6 - 6}{10}, u = \frac{6 + 6}{10}

- 3 - 10 u^{2} + 12 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 12 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} + 12 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = 12, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) ( - 3 )}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) ( - 3 )}{2 ( - 10 )}

1 2^{2} - 4 (- 10) (- 3) = 26

1 2^{2} - 4 (- 10) (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 2^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 1 2^{2} - 120

1 2^{2} = 144

= 144 - 120

Subtrahiere die Zahlen:

144 - 120 = 24

= 24

Primfaktorzerlegung von

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 2 6}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 12 + 2 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 12 - 2 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 12 + 2 6}{2 ( - 10 )} : \frac{6 - 6}{10}

\frac{- 12 + 2 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 12 + 2 6}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12 + 2 6}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 12 + 26 = - (12 - 26)

= \frac{12 - 2 6}{20}

Faktorisiere

12 - 26 : 2 (6 - 6)

12 - 26

Schreibe um

= 2 \cdot 6 - 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (6 - 6)

= \frac{2 ( 6 - 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 - 6}{10}

u = \frac{- 12 - 2 6}{2 ( - 10 )} : \frac{6 + 6}{10}

\frac{- 12 - 2 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 12 - 2 6}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12 - 2 6}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 12 - 26 = - (12 + 26)

= \frac{12 + 2 6}{20}

Faktorisiere

12 + 26 : 2 (6 + 6)

12 + 26

Schreibe um

= 2 \cdot 6 + 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (6 + 6)

= \frac{2 ( 6 + 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 + 6}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{6 - 6}{10}, u = \frac{6 + 6}{10}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{6 - 6}{10}, sin (x) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = \frac{6 - 6}{10}, sin (x) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = \frac{6 - 6}{10} : x = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 - 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{6 - 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{6 - 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 + 6}{10} : x = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 + 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{6 + 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

ein, um zu lösen

cos (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

ein, um zu lösen

cos (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

ein, um zu lösen

cos (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

ein, um zu lösen

cos (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow Wahr

x = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.36296 \dots + 2 πn, x = π - 1.00646 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x/2)=1,5

tan (\frac{x}{2}) = 1, 5

2cos^2(x)-1-cos(x)=0,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

cos(θ)=(-3)/5

cos (θ) = \frac{- 3}{5}

tan^2(x)-tan(x)=2

tan^{2} (x) - tan (x) = 2

2sin^2(x/2)-cos(x/2)=0

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}) = 0