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Popular Trigonometria >

arctan(3x)+arctan(x)= pi/4

Solução

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Solução

x = \frac{7 - 2}{3}

Passos da solução

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

arctan (3 x) + arctan (x)

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx})

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Resolver

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1 : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Simplificar

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} : \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

Somar elementos similares:

3 x + x = 4 x

= \frac{4 x}{1 - 3 xx}

1 - 3 xx = 1 - 3 x^{2}

1 - 3 xx

3 xx = 3 x^{2}

3 xx

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 3 x^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 3 x^{2}

= 1 - 3 x^{2}

= \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Multiplicar ambos os lados por

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Multiplicar ambos os lados por

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Simplificar

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Simplificar

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) : 4 x

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2})

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 x ( 1 - 3 x ^{2} )}{1 - 3 x ^{2}}

Eliminar o fator comum:

1 - 3 x^{2}

= 4 x

Simplificar

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) : 1 - 3 x^{2}

1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) = (1 - 3 x^{2})

= (1 - 3 x^{2})

Remover os parênteses:

(a) = a

= 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Resolver

4 x = 1 - 3 x^{2} : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Trocar lados

1 - 3 x^{2} = 4 x

Mova

4 x

para o lado esquerdo

1 - 3 x^{2} = 4 x

Subtrair

4 x

de ambos os lados

1 - 3 x^{2} - 4 x = 4 x - 4 x

Simplificar

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 3, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1 = 27

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 4^{2} + 12

4^{2} = 16

= 16 + 12

Somar:

16 + 12 = 28

= 28

Decomposição em fatores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

dividida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

dividida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 7 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 27

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 7}{2 ( - 3 )}

Separe as soluções

x_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}, x_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

x = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{2 + 7}{3}

\frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 + 2 7}{- 6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 7}{6}

Cancelar

\frac{4 + 2 7}{6} : \frac{2 + 7}{3}

\frac{4 + 2 7}{6}

Fatorar

4 + 27 : 2 (2 + 7)

4 + 27

Reescrever como

= 2 \cdot 2 + 27

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 7)

= \frac{2 ( 2 + 7 )}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 + 7}{3}

= - \frac{2 + 7}{3}

x = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )} : \frac{7 - 2}{3}

\frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 - 2 7}{- 6}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 27 = - (27 - 4)

= \frac{2 7 - 4}{6}

Fatorar

27 - 4 : 2 (7 - 2)

27 - 4

Reescrever como

= 27 - 2 \cdot 2

Fatorar o termo comum

2

= 2 (7 - 2)

= \frac{2 ( 7 - 2 )}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{7 - 2}{3}

As soluções para a equação de segundo grau são:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

e comparar com zero

Resolver

1 - 3 xx = 0 : x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

1 - 3 xx = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - 3 xx = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - 3 xx - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 3 xx = - 1

- 3 xx = - 1

Simplificar

- 3 x^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 3

\frac{- 3 x ^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

x^{2} = \frac{1}{3}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{3}

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Os seguintes pontos são indefinidos

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

- \frac{2 + 7}{3} :

Falso

- \frac{2 + 7}{3}

Inserir

n = 1

- \frac{2 + 7}{3}

Para

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

inserir

x = - \frac{2 + 7}{3}

arctan (3 (- \frac{2 + 7}{3})) + arctan (- \frac{2 + 7}{3}) = \frac{π}{4}

Simplificar

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{7 - 2}{3} :

Verdadeiro

\frac{7 - 2}{3}

Inserir

n = 1

\frac{7 - 2}{3}

Para

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

inserir

x = \frac{7 - 2}{3}

arctan (3 \cdot \frac{7 - 2}{3}) + arctan (\frac{7 - 2}{3}) = \frac{π}{4}

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = \frac{7 - 2}{3}

Gráfico

Exemplos populares

4sin(θ)=sqrt(3)sec(θ),0<= θ<180

(sin(82))/(sin(x))=sqrt(5)

(2cos^2(x))/(2(1-sin(x))-cos^2(x))=0

2sin(x)=-3

tan(θ)=(-12)/5 ,cot(θ)