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5sin(2x)=cos(x)

Lösung

5 sin (2 x) = cos (x)

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.10016 \dots + 2 πn, x = π - 0.10016 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 5.73917 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 174.26082 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin (2 x) = cos (x)

Subtrahiere

cos (x)

von beiden Seiten

5 sin (2 x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (x) + 5 sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - cos (x) + 5 \cdot 2 sin (x) cos (x)

Vereinfache

= - cos (x) + 10 sin (x) cos (x)

- cos (x) + 10 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

- cos (x) + 10 cos (x) sin (x) : cos (x) (10 sin (x) - 1)

- cos (x) + 10 cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (x)

= cos (x) (- 1 + 10 sin (x))

cos (x) (10 sin (x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 or 10 sin (x) - 1 = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

10 sin (x) - 1 = 0 : x = arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn

10 sin (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

10 sin (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

10 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

10 sin (x) = 1

10 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

10

10 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

10

\frac{10 sin ( x )}{10} = \frac{1}{10}

Vereinfache

sin (x) = \frac{1}{10}

sin (x) = \frac{1}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{1}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.10016 \dots + 2 πn, x = π - 0.10016 \dots + 2 πn

2 sin (x + \frac{π}{3}) = - 1

cot^{2} (a) = cos^{2} (a) + cos (a) cos (a)

cot (x) \cdot tan (2 x) = 3

1 \cdot sin (3 5^{\circ}) = 1.33 \cdot sin (θ)

cos (3 A) = 1