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Beliebt Trigonometrie >

(1+cot(x))/(1+tan(x))=5

Lösung

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} = 5

Lösung

x = 0.19739 \dots + πn

Grad

x = 11.30993 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} = 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} - 5 = 0

Vereinfache

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} - 5 : \frac{cot ( x ) - 5 tan ( x ) - 4}{1 + tan ( x )}

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} - 5

Wandle das Element in einen Bruch um:

5 = \frac{5 ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

= \frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} - \frac{5 ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cot ( x ) - 5 ( 1 + tan ( x ) )}{1 + tan ( x )}

Multipliziere aus

1 + cot (x) - 5 (1 + tan (x)) : cot (x) - 5 tan (x) - 4

1 + cot (x) - 5 (1 + tan (x))

Multipliziere aus

- 5 (1 + tan (x)) : - 5 - 5 tan (x)

- 5 (1 + tan (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 5, b = 1, c = tan (x)

= - 5 \cdot 1 + (- 5) tan (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 5 \cdot 1 - 5 tan (x)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 - 5 tan (x)

= 1 + cot (x) - 5 - 5 tan (x)

Vereinfache

1 + cot (x) - 5 - 5 tan (x) : cot (x) - 5 tan (x) - 4

1 + cot (x) - 5 - 5 tan (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cot (x) - 5 tan (x) + 1 - 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= cot (x) - 5 tan (x) - 4

= cot (x) - 5 tan (x) - 4

= \frac{cot ( x ) - 5 tan ( x ) - 4}{1 + tan ( x )}

\frac{cot ( x ) - 5 tan ( x ) - 4}{1 + tan ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cot (x) - 5 tan (x) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + cot (x) - 5 tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) - 5 \cdot \frac{1}{cot ( x )}

5 \cdot \frac{1}{cot ( x )} = \frac{5}{cot ( x )}

5 \cdot \frac{1}{cot ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{cot ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) - \frac{5}{cot ( x )}

- 4 + cot (x) - \frac{5}{cot ( x )} = 0

Löse mit Substitution

- 4 + cot (x) - \frac{5}{cot ( x )} = 0

Angenommen:

cot (x) = u

- 4 + u - \frac{5}{u} = 0

- 4 + u - \frac{5}{u} = 0 : u = 5, u = - 1

- 4 + u - \frac{5}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 4 + u - \frac{5}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 4 u + uu - \frac{5}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 4 u + uu - \frac{5}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

- \frac{5}{u} u : - 5

- \frac{5}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{5 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 5

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u + u^{2} - 5 = 0

- 4 u + u^{2} - 5 = 0

- 4 u + u^{2} - 5 = 0

Löse

- 4 u + u^{2} - 5 = 0 : u = 5, u = - 1

- 4 u + u^{2} - 5 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 5 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 5 )}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 6

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 5 = 20

= 4^{2} + 20

4^{2} = 16

= 16 + 20

Addiere die Zahlen:

16 + 20 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 6}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 1} : 5

\frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 6}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

4 + 6 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{10}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 6}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 6 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 5, u = - 1

u = 5, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 4 + u - \frac{5}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 5, u = - 1

Setze in

u = cot (x)

ein

cot (x) = 5, cot (x) = - 1

cot (x) = 5, cot (x) = - 1

cot (x) = 5 : x = arccot (5) + πn

cot (x) = 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cot (x) = 5

Allgemeine Lösung für

cot (x) = 5

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (5) + πn

x = arccot (5) + πn

cot (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

cot (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cot (x) = - 1

cot (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccot (5) + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{3 π}{4} + πn

x = arccot (5) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.19739 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

4=4cos(x)

4 = 4 cos (x)

cos^2(x)=2sin(x)-2

cos^{2} (x) = 2 sin (x) - 2

3sec^2(u)+7tan(u)=3

3 sec^{2} (u) + 7 tan (u) = 3

3sin(t)=2cos^2(t)

3 sin (t) = 2 cos^{2} (t)

sin(θ)=(12sin(43))/9

sin (θ) = \frac{12 sin ( 4 3 ^{\circ} )}{9}