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Beliebt Trigonometrie >

sec(θ/2)=cos(θ/2)

Lösung

sec (\frac{θ}{2}) = cos (\frac{θ}{2})

Lösung

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec (\frac{θ}{2}) = cos (\frac{θ}{2})

Subtrahiere

cos (\frac{θ}{2})

von beiden Seiten

sec (\frac{θ}{2}) - cos (\frac{θ}{2}) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (\frac{θ}{2}) + sec (\frac{θ}{2})

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - \frac{1}{sec ( \frac{θ}{2} )} + sec (\frac{θ}{2})

- \frac{1}{sec ( \frac{θ}{2} )} + sec (\frac{θ}{2}) = 0

Löse mit Substitution

- \frac{1}{sec ( \frac{θ}{2} )} + sec (\frac{θ}{2}) = 0

Angenommen:

sec (\frac{θ}{2}) = u

- \frac{1}{u} + u = 0

- \frac{1}{u} + u = 0 : u = 1, u = - 1

- \frac{1}{u} + u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- \frac{1}{u} + u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Vereinfache

- \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 1 + u^{2} = 0

- 1 + u^{2} = 0

- 1 + u^{2} = 0

Löse

- 1 + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

- 1 + u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + u^{2} = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + u^{2} + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- \frac{1}{u} + u

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - 1

Setze in

u = sec (\frac{θ}{2})

ein

sec (\frac{θ}{2}) = 1, sec (\frac{θ}{2}) = - 1

sec (\frac{θ}{2}) = 1, sec (\frac{θ}{2}) = - 1

sec (\frac{θ}{2}) = 1 : θ = 4 πn

sec (\frac{θ}{2}) = 1

Allgemeine Lösung für

sec (\frac{θ}{2}) = 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn

Löse

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn : θ = 4 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

θ = 4 πn

θ = 4 πn

θ = 4 πn

sec (\frac{θ}{2}) = - 1 : θ = 2 π + 4 πn

sec (\frac{θ}{2}) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (\frac{θ}{2}) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Löse

\frac{θ}{2} = π + 2 πn : θ = 2 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

θ = 2 π + 4 πn

θ = 2 π + 4 πn

θ = 2 π + 4 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(x)-1.28=0

2 cos^{2} (x) - 1.28 = 0

cos^3(3θ)= 1/4

cos^{3} (3 θ) = \frac{1}{4}

sin(x-pi/4)= 1/2

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

3sin(2x)-3/2 sqrt(3)=0

3 sin (2 x) - \frac{3}{2} 3 = 0

sin^2(θ)-1/4 =0

sin^{2} (θ) - \frac{1}{4} = 0