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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-sin(x)=0.5

Lösung

cos (2 x) - sin (x) = 0.5

Lösung

x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn

Grad

x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - sin (x) = 0.5

Subtrahiere

0.5

von beiden Seiten

cos (2 x) - sin (x) - 0.5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 0.5 + cos (2 x) - sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 0.5 + 1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x)

Vereinfache

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 0.5

0.5 - sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

0.5 - sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

0.5 - u - 2 u^{2} = 0

0.5 - u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{5 - 1}{4}

0.5 - u - 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

10

0.5 - u - 2 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere is one digit to the right of the decimal point, therefore multiply by

10

0.5 \cdot 10 - u \cdot 10 - 2 u^{2} \cdot 10 = 0 \cdot 10

Fasse zusammen

5 - 10 u - 20 u^{2} = 0

5 - 10 u - 20 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 20 u^{2} - 10 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 20 u^{2} - 10 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 20, b = - 10, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) \cdot 5}{2 ( - 20 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) \cdot 5}{2 ( - 20 )}

(- 10)^{2} - 4 (- 20) \cdot 5 = 105

(- 10)^{2} - 4 (- 20) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 10)^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 20 \cdot 5 = 400

= 1 0^{2} + 400

1 0^{2} = 100

= 100 + 400

Addiere die Zahlen:

100 + 400 = 500

= 500

Primfaktorzerlegung von

500 : 2^{2} \cdot 5^{3}

500

500

ist durch

2500 = 250 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 250

250

ist durch

2250 = 125 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 125

125

ist durch

5125 = 25 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5^{3}

= 5^{3} \cdot 2^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2} 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 55

Fasse zusammen

= 105

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 10 5}{2 ( - 20 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 10 5}{2 ( - 20 )}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 10 5}{2 ( - 20 )}

u = \frac{- ( - 10 ) + 10 5}{2 ( - 20 )} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- ( - 10 ) + 10 5}{2 ( - 20 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{10 + 10 5}{- 2 \cdot 20}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10 + 10 5}{- 40}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10 + 10 5}{40}

Streiche

\frac{10 + 10 5}{40} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{10 + 10 5}{40}

Faktorisiere

10 + 105 : 10 (1 + 5)

10 + 105

Schreibe um

= 10 \cdot 1 + 105

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (1 + 5)

= \frac{10 ( 1 + 5 )}{40}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{1 + 5}{4}

= - \frac{1 + 5}{4}

u = \frac{- ( - 10 ) - 10 5}{2 ( - 20 )} : \frac{5 - 1}{4}

\frac{- ( - 10 ) - 10 5}{2 ( - 20 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{10 - 10 5}{- 2 \cdot 20}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10 - 10 5}{- 40}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

10 - 105 = - (105 - 10)

= \frac{10 5 - 10}{40}

Faktorisiere

105 - 10 : 10 (5 - 1)

105 - 10

Schreibe um

= 105 - 10 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (5 - 1)

= \frac{10 ( 5 - 1 )}{40}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{5 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{5 - 1}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}, sin (x) = \frac{5 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}, sin (x) = \frac{5 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 - 1}{4} : x = arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 - 1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{5 - 1}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{5 - 1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4+4cos(θ)=0

4 + 4 cos (θ) = 0

sin^3(x)=cos^3(x)

sin^{3} (x) = cos^{3} (x)

sec(x)sin(x)+cos(x)=sec(x)

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

sin(x)+4csc(x)+5=0,0<= x<= 2pi

sin (x) + 4 csc (x) + 5 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

r=asin(3x)

r = a sin (3 x)