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Beliebt Trigonometrie >

6cos^2(x)-cos(x)-1=0

Lösung

6 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 1.91063 \dots + 2 πn, x = - 1.91063 \dots + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

6 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

6 u^{2} - u - 1 = 0

6 u^{2} - u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3}

6 u^{2} - u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

4 \cdot 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

1 + 5 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 4}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} : x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 1.91063 \dots + 2 πn, x = - 1.91063 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele