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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)+5cos(x)=4

Lösung

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Lösung

x = 1.11408 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35307 \dots + 2 πn

Grad

x = 63.83252 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 339.77029 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Subtrahiere

5 cos (x)

von beiden Seiten

2 sin (x) = 4 - 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (4 - 5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(4 - 5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 16 + 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 16 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- 25 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 29 cos^{2} (x)

= - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 16 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 4 = - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 12 - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 12 - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, u = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 29 u^{2} + 40 u - 12 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 29 u^{2} + 40 u - 12 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 29, b = 40, c = - 12

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 29 ) ( - 12 )}{2 ( - 29 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 29 ) ( - 12 )}{2 ( - 29 )}

4 0^{2} - 4 (- 29) (- 12) = 413

4 0^{2} - 4 (- 29) (- 12)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 29 \cdot 12 = 1392

= 4 0^{2} - 1392

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1392

Subtrahiere die Zahlen:

1600 - 1392 = 208

= 208

Primfaktorzerlegung von

208 : 2^{4} \cdot 13

208

208

ist durch

2208 = 104 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 104

104

ist durch

2104 = 52 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 13

Fasse zusammen

= 413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 13}{2 ( - 29 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )}

u = \frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )} : \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

\frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 4 13}{- 2 \cdot 29}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 + 4 13}{- 58}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 + 413 = - (40 - 413)

= \frac{40 - 4 13}{58}

Faktorisiere

40 - 413 : 4 (10 - 13)

40 - 413

Schreibe um

= 4 \cdot 10 - 413

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (10 - 13)

= \frac{4 ( 10 - 13 )}{58}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

u = \frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )} : \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

\frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 4 13}{- 2 \cdot 29}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 - 4 13}{- 58}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 413 = - (40 + 413)

= \frac{40 + 4 13}{58}

Faktorisiere

40 + 413 : 4 (10 + 13)

40 + 413

Schreibe um

= 4 \cdot 10 + 413

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (10 + 13)

= \frac{4 ( 10 + 13 )}{58}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, u = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

0.40996 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

5.38313 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.11408 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35307 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos(x)=2-sin(x)

3 cos (x) = 2 - sin (x)

cos(2x)=2-3sin(x)

cos (2 x) = 2 - 3 sin (x)

arcsin(x)+arcsin(1-x)=arccos(x)

arcsin (x) + arcsin (1 - x) = arccos (x)

3cos^2(x)+1=4sin(x)

3 cos^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

[2sin(4x)-1]*[1+tan(x)]=0

[2 sin (4 x) - 1] \cdot [1 + tan (x)] = 0