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Popular Trigonometria >

3cos(x)=2-sin(x)

Solução

3 cos (x) = 2 - sin (x)

Solução

x = - 0.56432 \dots + 2 πn, x = 1.20782 \dots + 2 πn

Graus

x = - 32.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 69.20342 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

3 cos (x) = 2 - sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(3 cos (x))^{2} = (2 - sin (x))^{2}

Subtrair

(2 - sin (x))^{2}

de ambos os lados

9 cos^{2} (x) - 4 + 4 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 cos^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) : 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - sin^{2} (x) + 4 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 4 + 9

Somar elementos similares:

- sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 10 sin^{2} (x)

= - 10 sin^{2} (x) + 4 sin (x) - 4 + 9

Somar/subtrair:

- 4 + 9 = 5

= 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

= 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

= 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

5 - 10 sin^{2} (x) + 4 sin (x) = 0

Usando o método de substituição

5 - 10 sin^{2} (x) + 4 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

5 - 10 u^{2} + 4 u = 0

5 - 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = \frac{2 + 3 6}{10}

5 - 10 u^{2} + 4 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 4 u + 5 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 10 u^{2} + 4 u + 5 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 10, b = 4, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 5}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 5}{2 ( - 10 )}

4^{2} - 4 (- 10) \cdot 5 = 66

4^{2} - 4 (- 10) \cdot 5

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Multiplicar os números:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

Somar:

16 + 200 = 216

= 216

Decomposição em fatores primos de

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

dividida por

2216 = 108 \cdot 2

= 2 \cdot 108

108

dividida por

2108 = 54 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

dividida por

254 = 27 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

dividida por

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

dividida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Simplificar

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 ( - 10 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 ( - 10 )} : - \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 ( - 10 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 6 6}{- 2 \cdot 10}

Multiplicar os números:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{- 20}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 6 6}{20}

Cancelar

\frac{- 4 + 6 6}{20} : \frac{3 6 - 2}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{20}

Fatorar

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

Reescrever como

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

= - \frac{3 6 - 2}{10}

= - \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 ( - 10 )} : \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 ( - 10 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 6 6}{- 2 \cdot 10}

Multiplicar os números:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{- 20}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 66 = - (4 + 66)

= \frac{4 + 6 6}{20}

Fatorar

4 + 66 : 2 (2 + 36)

4 + 66

Reescrever como

= 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 36)

= \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 + 3 6}{10}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = \frac{2 + 3 6}{10}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10} : x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10} : x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

3 cos (x) = 2 - sin (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Para

3 cos (x) = 2 - sin (x)

inserir

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

2.53484 \dots = 2.53484 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Para

3 cos (x) = 2 - sin (x)

inserir

x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

- 2.53484 \dots = 2.53484 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Para

3 cos (x) = 2 - sin (x)

inserir

x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

1.06515 \dots = 1.06515 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Para

3 cos (x) = 2 - sin (x)

inserir

x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

- 1.06515 \dots = 1.06515 \dots

\Rightarrow Falso

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = - 0.56432 \dots + 2 πn, x = 1.20782 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(2x)=2-3sin(x)

arcsin(x)+arcsin(1-x)=arccos(x)

3cos^2(x)+1=4sin(x)

[2sin(4x)-1]*[1+tan(x)]=0

cos^2(x)=2cos(x)