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Populaire Trigonométrie >

4sin(x)-4cos(x)=2

Solution

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

Solution

x = - 2.71756 \dots + 2 πn, x = 1.14676 \dots + 2 πn

Degrés

x = - 155.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 65.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

Ajouter

4 cos (x)

aux deux côtés

4 sin (x) = 2 + 4 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(4 sin (x))^{2} = (2 + 4 cos (x))^{2}

Soustraire

(2 + 4 cos (x))^{2}

des deux côtés

16 sin^{2} (x) - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) : - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x))

Développer

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x)

Simplifier

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) : - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) - 4 + 16

Additionner les éléments similaires :

- 16 cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) = - 32 cos^{2} (x)

= - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) - 4 + 16

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 16 = 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

12 - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

12 - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 32 u^{2} - 16 u + 12 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 32 u^{2} - 16 u + 12 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 32, b = - 16, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 12}{2 ( - 32 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 12}{2 ( - 32 )}

(- 16)^{2} - 4 (- 32) \cdot 12 = 167

(- 16)^{2} - 4 (- 32) \cdot 12

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 16)^{2} + 4 \cdot 32 \cdot 12

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} + 4 \cdot 32 \cdot 12

Multiplier les nombres :

4 \cdot 32 \cdot 12 = 1536

= 1 6^{2} + 1536

1 6^{2} = 256

= 256 + 1536

Additionner les nombres :

256 + 1536 = 1792

= 1792

Factorisation première de

1792 : 2^{8} \cdot 7

1792

1792

divisée par

21792 = 896 \cdot 2

= 2 \cdot 896

896

divisée par

2896 = 448 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 448

448

divisée par

2448 = 224 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 224

224

divisée par

2224 = 112 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 112

112

divisée par

2112 = 56 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 56

56

divisée par

256 = 28 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 7

= 2^{8} \cdot 7

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 7 2^{8}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 7

Redéfinir

= 167

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 16 7}{2 ( - 32 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )}

u = \frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )} : - \frac{1 + 7}{4}

\frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 + 16 7}{- 2 \cdot 32}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 + 16 7}{- 64}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 + 16 7}{64}

Annuler

\frac{16 + 16 7}{64} : \frac{1 + 7}{4}

\frac{16 + 16 7}{64}

Factoriser

16 + 167 : 16 (1 + 7)

16 + 167

Récrire comme

= 16 \cdot 1 + 167

Factoriser le terme commun

16

= 16 (1 + 7)

= \frac{16 ( 1 + 7 )}{64}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{1 + 7}{4}

= - \frac{1 + 7}{4}

u = \frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )} : \frac{7 - 1}{4}

\frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 - 16 7}{- 2 \cdot 32}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 - 16 7}{- 64}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

16 - 167 = - (167 - 16)

= \frac{16 7 - 16}{64}

Factoriser

167 - 16 : 16 (7 - 1)

167 - 16

Récrire comme

= 167 - 16 \cdot 1

Factoriser le terme commun

16

= 16 (7 - 1)

= \frac{16 ( 7 - 1 )}{64}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{7 - 1}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 - 1}{4} : x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

Faux

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

insérer

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 2

Redéfinir

5.29150 \dots = 2

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

vrai

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

insérer

x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 2

Redéfinir

2 = 2

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

insérer

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = 2

Redéfinir

2 = 2

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = 2

Redéfinir

- 5.29150 \dots = 2

\Rightarrow Faux

x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = - 2.71756 \dots + 2 πn, x = 1.14676 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

solvefor x,arcsin(x)+arcsin(y)= pi/2

so l v e f or x, arcsin (x) + arcsin (y) = \frac{π}{2}

2arctan(1/2)=arccos(x)

2 arctan (\frac{1}{2}) = arccos (x)

sin(x/2)+sin(x/2)=sin(x)

sin (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2}) = sin (x)

15cos(x)-5=4cos(x)

15 cos (x) - 5 = 4 cos (x)

cos(x)-cos(2x)=0,0<= x<= 2pi

cos (x) - cos (2 x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π