English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

4sin(x)-4cos(x)=2

Lösung

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

Lösung

x = - 2.71756 \dots + 2 πn, x = 1.14676 \dots + 2 πn

Grad

x = - 155.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 65.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

Füge

4 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 sin (x) = 2 + 4 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x))^{2} = (2 + 4 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + 4 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

16 sin^{2} (x) - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) : - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) : - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) - 4 + 16

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) = - 32 cos^{2} (x)

= - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) - 4 + 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 16 = 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

12 - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

12 - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 32 u^{2} - 16 u + 12 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 32 u^{2} - 16 u + 12 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 32, b = - 16, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 12}{2 ( - 32 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 12}{2 ( - 32 )}

(- 16)^{2} - 4 (- 32) \cdot 12 = 167

(- 16)^{2} - 4 (- 32) \cdot 12

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 16)^{2} + 4 \cdot 32 \cdot 12

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} + 4 \cdot 32 \cdot 12

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 32 \cdot 12 = 1536

= 1 6^{2} + 1536

1 6^{2} = 256

= 256 + 1536

Addiere die Zahlen:

256 + 1536 = 1792

= 1792

Primfaktorzerlegung von

1792 : 2^{8} \cdot 7

1792

1792

ist durch

21792 = 896 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 896

896

ist durch

2896 = 448 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 448

448

ist durch

2448 = 224 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 224

224

ist durch

2224 = 112 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 112

112

ist durch

2112 = 56 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 56

56

ist durch

256 = 28 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 7

= 2^{8} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

= 7 2^{8}

Wende Radikal Regel an:

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 7

Fasse zusammen

= 167

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 16 7}{2 ( - 32 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )}

u = \frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )} : - \frac{1 + 7}{4}

\frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 + 16 7}{- 2 \cdot 32}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 + 16 7}{- 64}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 + 16 7}{64}

Streiche

\frac{16 + 16 7}{64} : \frac{1 + 7}{4}

\frac{16 + 16 7}{64}

Faktorisiere

16 + 167 : 16 (1 + 7)

16 + 167

Schreibe um

= 16 \cdot 1 + 167

Klammere gleiche Terme aus

16

= 16 (1 + 7)

= \frac{16 ( 1 + 7 )}{64}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{1 + 7}{4}

= - \frac{1 + 7}{4}

u = \frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )} : \frac{7 - 1}{4}

\frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 - 16 7}{- 2 \cdot 32}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 - 16 7}{- 64}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

16 - 167 = - (167 - 16)

= \frac{16 7 - 16}{64}

Faktorisiere

167 - 16 : 16 (7 - 1)

167 - 16

Schreibe um

= 167 - 16 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

16

= 16 (7 - 1)

= \frac{16 ( 7 - 1 )}{64}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{7 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 - 1}{4} : x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

5.29150 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 5.29150 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.71756 \dots + 2 πn, x = 1.14676 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,arcsin(x)+arcsin(y)= pi/2

2arctan(1/2)=arccos(x)

sin(x/2)+sin(x/2)=sin(x)

15cos(x)-5=4cos(x)

cos(x)-cos(2x)=0,0<= x<= 2pi