integral of e^{-ax^2}

解

\int e^{- a x^{2}} d x

\frac{π}{2 a} erf (a x) + C

解答ステップ

\int e^{- a x^{2}} d x

= \int e^{- (a x)^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{e ^{- u^{2}}}{a} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int e^{- u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= \frac{1}{a} \cdot \frac{π}{2} erf (u)

代用を戻す

u = a x

= \frac{1}{a} \cdot \frac{π}{2} erf (a x)

簡素化

\frac{1}{a} \cdot \frac{π}{2} erf (a x) : \frac{π}{2 a} erf (a x)

= \frac{π}{2 a} erf (a x)

定数を解答に追加する

= \frac{π}{2 a} erf (a x) + C