解答
sin2(x)cos2(x)=8(1−cos4(x))
解答
x=1.18319…+2πn,x=2π−1.18319…+2πn,x=1.95839…+2πn,x=−1.95839…+2πn,x=2πn,x=π+2πn
+1
度数
x=67.79234…∘+360∘n,x=292.20765…∘+360∘n,x=112.20765…∘+360∘n,x=−112.20765…∘+360∘n,x=0∘+360∘n,x=180∘+360∘n求解步骤
sin2(x)cos2(x)=8(1−cos4(x))
两边减去 81−cos4(x)sin2(x)cos2(x)−81−cos4(x)=0
化简 sin2(x)cos2(x)−81−cos4(x):88sin2(x)cos2(x)−1+cos4(x)
sin2(x)cos2(x)−81−cos4(x)
将项转换为分式: sin2(x)cos2(x)=8sin2(x)cos2(x)8=8sin2(x)cos2(x)⋅8−81−cos4(x)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=8sin2(x)cos2(x)⋅8−(1−cos4(x))
乘开 sin2(x)cos2(x)⋅8−(1−cos4(x)):sin2(x)cos2(x)⋅8−1+cos4(x)
sin2(x)cos2(x)⋅8−(1−cos4(x))
=8sin2(x)cos2(x)−(1−cos4(x))
−(1−cos4(x)):−1+cos4(x)
−(1−cos4(x))
打开括号=−(1)−(−cos4(x))
使用加减运算法则−(−a)=a,−(a)=−a=−1+cos4(x)
=sin2(x)cos2(x)⋅8−1+cos4(x)
=88sin2(x)cos2(x)−1+cos4(x)
88sin2(x)cos2(x)−1+cos4(x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=08sin2(x)cos2(x)−1+cos4(x)=0
使用三角恒等式改写
−1+cos4(x)+8cos2(x)sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−1+cos4(x)+8cos2(x)(1−cos2(x))
化简 −1+cos4(x)+8cos2(x)(1−cos2(x)):−7cos4(x)+8cos2(x)−1
−1+cos4(x)+8cos2(x)(1−cos2(x))
乘开 8cos2(x)(1−cos2(x)):8cos2(x)−8cos4(x)
8cos2(x)(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=8cos2(x),b=1,c=cos2(x)=8cos2(x)⋅1−8cos2(x)cos2(x)
=8⋅1⋅cos2(x)−8cos2(x)cos2(x)
化简 8⋅1⋅cos2(x)−8cos2(x)cos2(x):8cos2(x)−8cos4(x)
8⋅1⋅cos2(x)−8cos2(x)cos2(x)
8⋅1⋅cos2(x)=8cos2(x)
8⋅1⋅cos2(x)
数字相乘:8⋅1=8=8cos2(x)
8cos2(x)cos2(x)=8cos4(x)
8cos2(x)cos2(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos2(x)=cos2+2(x)=8cos2+2(x)
数字相加:2+2=4=8cos4(x)
=8cos2(x)−8cos4(x)
=8cos2(x)−8cos4(x)
=−1+cos4(x)+8cos2(x)−8cos4(x)
化简 −1+cos4(x)+8cos2(x)−8cos4(x):−7cos4(x)+8cos2(x)−1
−1+cos4(x)+8cos2(x)−8cos4(x)
对同类项分组=cos4(x)+8cos2(x)−8cos4(x)−1
同类项相加:cos4(x)−8cos4(x)=−7cos4(x)=−7cos4(x)+8cos2(x)−1
=−7cos4(x)+8cos2(x)−1
=−7cos4(x)+8cos2(x)−1
−1−7cos4(x)+8cos2(x)=0
用替代法求解
−1−7cos4(x)+8cos2(x)=0
令:cos(x)=u−1−7u4+8u2=0
−1−7u4+8u2=0:u=71,u=−71,u=1,u=−1
−1−7u4+8u2=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=0−7u4+8u2−1=0
用v=u2 和 v2=u4改写方程式−7v2+8v−1=0
解 −7v2+8v−1=0:v=71,v=1
−7v2+8v−1=0
使用求根公式求解
−7v2+8v−1=0
二次方程求根公式:
若 a=−7,b=8,c=−1v1,2=2(−7)−8±82−4(−7)(−1)
v1,2=2(−7)−8±82−4(−7)(−1)
82−4(−7)(−1)=6
82−4(−7)(−1)
使用法则 −(−a)=a=82−4⋅7⋅1
数字相乘:4⋅7⋅1=28=82−28
82=64=64−28
数字相减:64−28=36=36
因式分解数字: 36=62=62
使用根式运算法则: nan=a62=6=6
v1,2=2(−7)−8±6
将解分隔开v1=2(−7)−8+6,v2=2(−7)−8−6
v=2(−7)−8+6:71
2(−7)−8+6
去除括号: (−a)=−a=−2⋅7−8+6
数字相加/相减:−8+6=−2=−2⋅7−2
数字相乘:2⋅7=14=−14−2
使用分式法则: −b−a=ba=142
约分:2=71
v=2(−7)−8−6:1
2(−7)−8−6
去除括号: (−a)=−a=−2⋅7−8−6
数字相减:−8−6=−14=−2⋅7−14
数字相乘:2⋅7=14=−14−14
使用分式法则: −b−a=ba=1414
使用法则 aa=1=1
二次方程组的解是:v=71,v=1
v=71,v=1
代回 v=u2，求解 u
解 u2=71:u=71,u=−71
u2=71
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=71,u=−71
解 u2=1:u=1,u=−1
u2=1
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=1,u=−1
1=1
1
使用法则 1=1=1
−1=−1
−1
使用法则 1=1=−1
u=1,u=−1
解为
u=71,u=−71,u=1,u=−1
u=cos(x)代回cos(x)=71,cos(x)=−71,cos(x)=1,cos(x)=−1
cos(x)=71,cos(x)=−71,cos(x)=1,cos(x)=−1
cos(x)=71:x=arccos(71)+2πn,x=2π−arccos(71)+2πn
cos(x)=71
使用反三角函数性质
cos(x)=71
cos(x)=71的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(71)+2πn,x=2π−arccos(71)+2πn
x=arccos(71)+2πn,x=2π−arccos(71)+2πn
cos(x)=−71:x=arccos(−71)+2πn,x=−arccos(−71)+2πn
cos(x)=−71
使用反三角函数性质
cos(x)=−71
cos(x)=−71的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−71)+2πn,x=−arccos(−71)+2πn
x=arccos(−71)+2πn,x=−arccos(−71)+2πn
cos(x)=1:x=2πn
cos(x)=1
cos(x)=1的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
x=0+2πn
x=0+2πn
解 x=0+2πn:x=2πn
x=0+2πn
0+2πn=2πnx=2πn
x=2πn
cos(x)=−1:x=π+2πn
cos(x)=−1
cos(x)=−1的通解
cos(x) 周期表（周期为 2πn）：
x06π4π3π2π32π43π65πcos(x)12322210−21−22−23xπ67π45π34π23π35π47π611πcos(x)−1−23−22−210212223
x=π+2πn
x=π+2πn
合并所有解x=arccos(71)+2πn,x=2π−arccos(71)+2πn,x=arccos(−71)+2πn,x=−arccos(−71)+2πn,x=2πn,x=π+2πn
以小数形式表示解x=1.18319…+2πn,x=2π−1.18319…+2πn,x=1.95839…+2πn,x=−1.95839…+2πn,x=2πn,x=π+2πn