English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

arctan(x/3)+arctan(x/2)=arctan(x)

Решение

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Решение

x = 0, x = - 1, x = 1

Шаги решения

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Вычтите

arctan (x)

с обеих сторон

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) - arctan (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

- arctan (x) + arctan (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}})

Используйте тождество суммы к произведению:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Примените обратные тригонометрические свойства

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

= 0

= 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Решить

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Упростите

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} : \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x = \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Умножьте дроби:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Добавьте числа:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Перемножьте числа:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Присоединить

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

к одной дроби:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Наименьший Общий Множитель

3, 2 : 6

3, 2

Наименьший Общий Множитель (НОМ)

Первичное разложение на множители

3 : 3

3

3

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 3

Первичное разложение на множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Умножьте каждый фактор наибольшее количество раз, которое он встречается в

3

или

2

= 3 \cdot 2

Перемножьте числа:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

6

Для

\frac{x}{3} :

умножить знаменатель и числитель на

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Для

\frac{x}{2} :

умножить знаменатель и числитель на

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Добавьте похожие элементы:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Присоединить

1 - \frac{x ^{2}}{6}

к одной дроби:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Перемножьте числа:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} x

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 xx}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

5 xx = 5 x^{2}

5 xx

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 5 x^{1 + 1}

Добавьте числа:

1 + 1 = 2

= 5 x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

Умножьте

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Отмените общий множитель:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + 1} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Умножьте дроби:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Добавьте числа:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Перемножьте числа:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Присоединить

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

к одной дроби:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Наименьший Общий Множитель

3, 2 : 6

3, 2

Наименьший Общий Множитель (НОМ)

Первичное разложение на множители

3 : 3

3

3

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 3

Первичное разложение на множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Умножьте каждый фактор наибольшее количество раз, которое он встречается в

3

или

2

= 3 \cdot 2

Перемножьте числа:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

6

Для

\frac{x}{3} :

умножить знаменатель и числитель на

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Для

\frac{x}{2} :

умножить знаменатель и числитель на

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Добавьте похожие элементы:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Присоединить

1 - \frac{x ^{2}}{6}

к одной дроби:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Перемножьте числа:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

Присоединить

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

к одной дроби:

\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} ) + 5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2} = 6 + 4 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) = 6 - x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2})

Умножьте:

1 \cdot (6 - x^{2}) = (6 - x^{2})

= (6 - x^{2})

Уберите скобки:

(a) = a

= 6 - x^{2}

= 6 - x^{2} + 5 x^{2}

Добавьте похожие элементы:

- x^{2} + 5 x^{2} = 4 x^{2}

= 6 + 4 x^{2}

= \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Присоединить

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

к одной дроби:

\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

Преобразуйте элемент в дробь:

x = \frac{x 6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - \frac{x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 x - x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Умножьте

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Отмените общий множитель:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x - 6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6} x}{6 - x ^{2}}

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} = x (6 - x^{2})

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) x \cdot 6}{6}

Отмените общий множитель:

6

= (6 - x^{2}) x

= \frac{5 x - x ( - x ^{2} + 6 )}{6 - x ^{2}}

Расширить

5 x - (6 - x^{2}) x : - x + x^{3}

5 x - (6 - x^{2}) x

= 5 x - x (6 - x^{2})

Расширить

- x (6 - x^{2}) : - 6 x + x^{3}

- x (6 - x^{2})

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 6, c = x^{2}

= - x \cdot 6 - (- x) x^{2}

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - 6 x + x^{2} x

x^{2} x = x^{3}

x^{2} x

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x = x^{2 + 1}

= x^{2 + 1}

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= x^{3}

= - 6 x + x^{3}

= 5 x - 6 x + x^{3}

Добавьте похожие элементы:

5 x - 6 x = - x

= - x + x^{3}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Разделите дроби:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - x + x ^{3} ) ( 6 - x ^{2} )}{( 6 - x ^{2} ) ( 6 + 4 x ^{2} )}

Отмените общий множитель:

6 - x^{2}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- x + x^{3} = 0

Решить

- x + x^{3} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

- x + x^{3} = 0

Найдите множитель

- x + x^{3} : x (x + 1) (x - 1)

- x + x^{3}

Убрать общее значение

x : x (x^{2} - 1)

x^{3} - x

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

x^{3} = x^{2} x

= x^{2} x - x

Убрать общее значение

x

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1)

коэффициент

x^{2} - 1 : (x + 1) (x - 1)

x^{2} - 1

Перепишите

1

как

1^{2}

= x^{2} - 1^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)

= (x + 1) (x - 1)

= x (x + 1) (x - 1)

x (x + 1) (x - 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

x = 0 or x + 1 = 0 or x - 1 = 0

Решить

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Переместите

1

вправо

x + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

x + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

x = - 1

x = - 1

Решить

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Переместите

1

вправо

x - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

x - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

x = 1

x = 1

Решениями являются

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

x = 6, x = - 6

Возьмите знаменатель(и)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

и сравните с нулем

Решить

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0 : x = 6, x = - 6

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Переместите

1

вправо

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

После упрощения получаем

- \frac{x ^{2}}{6} = - 1

Умножьте обе части на

- 6

(- \frac{x ^{2}}{6}) (- 6) = (- 1) (- 6)

x^{2} = 6

Для

x^{2} = f (a)

решениями являются

x = f (a), - f (a)

x = 6, x = - 6

Следующие точки не определены

x = 6, x = - 6

Объедините неопределенные точки с решениями:

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

0 :

Верно

0

Подставьте

n = 1

0

Для

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

подключите

x = 0

arctan (\frac{0}{3}) + arctan (\frac{0}{2}) = arctan (0)

Уточнить

0 = 0

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

- 1 :

Верно

- 1

Подставьте

n = 1

- 1

Для

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

подключите

x = - 1

arctan (\frac{- 1}{3}) + arctan (\frac{- 1}{2}) = arctan (- 1)

Уточнить

- 0.78539 \dots = - 0.78539 \dots

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

1 :

Верно

1

Подставьте

n = 1

1

Для

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

подключите

x = 1

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (\frac{1}{2}) = arctan (1)

Уточнить

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Верно

x = 0, x = - 1, x = 1

Решение

Решение

График

Популярные примеры