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arctan(x/3)+arctan(x/2)=arctan(x)

해법

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

해법

x = 0, x = - 1, x = 1

솔루션 단계

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

빼다

arctan (x)

양쪽에서

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) - arctan (x) = 0

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

- arctan (x) + arctan (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}})

제품식별에 대한 합계 사용:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

트리거 역속성 적용

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

다음과 같은 사소한 아이덴티티 사용:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

주기율표

πn

주기:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

해결 :

x = 0, x = - 1, x = 1

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

간소화하다 :

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x = \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

다중 분수:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

지수 규칙 적용:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

숫자 추가:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

숫자를 곱하시오:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

합류하다:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

3, 2

의 최소 공배수:

6

3, 2

최소공배수 (LCM)

의 주요 인수 분해

3 : 3

3

3

소수이다, 따라서 인수분해는 불가능하다

= 3

의 주요 인수 분해

2 : 2

2

2

소수이다, 따라서 인수분해는 불가능하다

= 2

다음 중 하나에서 발생하는 가장 큰 횟수를 각 인자에 곱합니다

3

혹은

2

= 3 \cdot 2

숫자를 곱하시오:

3 \cdot 2 = 6

= 6

LCM을 기준으로 분수 조정

각 분자를 곱하는 데 필요한 동일한 양으로 곱하시오

해당 분모를 LCM으로 변환합니다

6

위해서

\frac{x}{3} :

분모와 분자를 곱하다

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

위해서

\frac{x}{2} :

분모와 분자를 곱하다

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

유사 요소 추가:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

분수 규칙 적용:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

합류하다:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

요소를 분수로 변환:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

숫자를 곱하시오:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} x

다중 분수:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 xx}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

5 xx = 5 x^{2}

5 xx

지수 규칙 적용:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 5 x^{1 + 1}

숫자 추가:

1 + 1 = 2

= 5 x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

곱하다

: 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

다중 분수:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

공통 요인 취소:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + 1} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

다중 분수:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

지수 규칙 적용:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

숫자 추가:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

숫자를 곱하시오:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

합류하다:

\frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

3, 2

의 최소 공배수:

6

3, 2

최소공배수 (LCM)

의 주요 인수 분해

3 : 3

3

3

소수이다, 따라서 인수분해는 불가능하다

= 3

의 주요 인수 분해

2 : 2

2

2

소수이다, 따라서 인수분해는 불가능하다

= 2

다음 중 하나에서 발생하는 가장 큰 횟수를 각 인자에 곱합니다

3

혹은

2

= 3 \cdot 2

숫자를 곱하시오:

3 \cdot 2 = 6

= 6

LCM을 기준으로 분수 조정

각 분자를 곱하는 데 필요한 동일한 양으로 곱하시오

해당 분모를 LCM으로 변환합니다

6

위해서

\frac{x}{3} :

분모와 분자를 곱하다

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

위해서

\frac{x}{2} :

분모와 분자를 곱하다

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

유사 요소 추가:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

분수 규칙 적용:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

합류하다:

\frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

요소를 분수로 변환:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

숫자를 곱하시오:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

합류하다:

\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

요소를 분수로 변환:

1 = \frac{1 ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} ) + 5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2} = 6 + 4 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) = 6 - x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2})

곱하다:

1 \cdot (6 - x^{2}) = (6 - x^{2})

= (6 - x^{2})

괄호 제거:

(a) = a

= 6 - x^{2}

= 6 - x^{2} + 5 x^{2}

유사 요소 추가:

- x^{2} + 5 x^{2} = 4 x^{2}

= 6 + 4 x^{2}

= \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

합류하다:

\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

요소를 분수로 변환:

x = \frac{x 6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - \frac{x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 x - x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

곱하다

: 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

다중 분수:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

공통 요인 취소:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x - 6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6} x}{6 - x ^{2}}

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} = x (6 - x^{2})

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

다중 분수:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) x \cdot 6}{6}

공통 요인 취소:

6

= (6 - x^{2}) x

= \frac{5 x - x ( - x ^{2} + 6 )}{6 - x ^{2}}

5 x - (6 - x^{2}) x

확대한다:

- x + x^{3}

5 x - (6 - x^{2}) x

= 5 x - x (6 - x^{2})

- x (6 - x^{2})

확대한다:

- 6 x + x^{3}

- x (6 - x^{2})

분배 법칙 적용:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 6, c = x^{2}

= - x \cdot 6 - (- x) x^{2}

마이너스 플러스 규칙 적용

- (- a) = a

= - 6 x + x^{2} x

x^{2} x = x^{3}

x^{2} x

지수 규칙 적용:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x = x^{2 + 1}

= x^{2 + 1}

숫자 추가:

2 + 1 = 3

= x^{3}

= - 6 x + x^{3}

= 5 x - 6 x + x^{3}

유사 요소 추가:

5 x - 6 x = - x

= - x + x^{3}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

분수 나누기:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - x + x ^{3} ) ( 6 - x ^{2} )}{( 6 - x ^{2} ) ( 6 + 4 x ^{2} )}

공통 요인 취소:

6 - x^{2}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- x + x^{3} = 0

- x + x^{3} = 0

해결 :

x = 0, x = - 1, x = 1

- x + x^{3} = 0

- x + x^{3}

인수 :

x (x + 1) (x - 1)

- x + x^{3}

공통 용어를 추출하다

x : x (x^{2} - 1)

x^{3} - x

지수 규칙 적용:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

x^{3} = x^{2} x

= x^{2} x - x

공통 용어를 추출하다

x

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1)

x^{2} - 1

요인:

(x + 1) (x - 1)

x^{2} - 1

1 1^{2}

로 다시 씁니다

= x^{2} - 1^{2}

두 제곱 공식의 차이 적용:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)

= (x + 1) (x - 1)

= x (x + 1) (x - 1)

x (x + 1) (x - 1) = 0

제로 인자 원리 사용:\4각형이면

ab = 0

그렇다면

a = 0

b = 0

x = 0 or x + 1 = 0 or x - 1 = 0

x + 1 = 0

해결 :

x = - 1

x + 1 = 0

1

를 오른쪽으로 이동

x + 1 = 0

빼다

1

양쪽에서

x + 1 - 1 = 0 - 1

단순화

x = - 1

x = - 1

x - 1 = 0

해결 :

x = 1

x - 1 = 0

1

를 오른쪽으로 이동

x - 1 = 0

더하다

1

양쪽으로

x - 1 + 1 = 0 + 1

단순화

x = 1

x = 1

해결책은

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

솔루션 확인

정의되지 않은 (특이점) 점 찾기:

x = 6, x = - 6

의 분모를 취하라

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

그리고 0과 비교한다

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

해결 :

x = 6, x = - 6

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

1

를 오른쪽으로 이동

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

빼다

1

양쪽에서

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} - 1 = 0 - 1

단순화

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

단순화

- \frac{x ^{2}}{6} = - 1

양쪽을 곱한 값

- 6

(- \frac{x ^{2}}{6}) (- 6) = (- 1) (- 6)

x^{2} = 6

위해서

x^{2} = f (a)

해결책은

x = f (a), - f (a)

x = 6, x = - 6

다음 지점은 정의되지 않았습니다

x = 6, x = - 6

정의되지 않은 점을 솔루션과 결합:

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

해법을 원래 방정식에 연결하여 검증

솔루션을 에 연결하여 확인합니다

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

방정식에 맞지 않는 것은 제거하십시오.

솔루션 확인

0 :

참

0

n = 1

끼우다

0

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

x = 0

arctan (\frac{0}{3}) + arctan (\frac{0}{2}) = arctan (0)

다듬다

0 = 0

\Rightarrow 참

솔루션 확인

- 1 :

참

- 1

n = 1

끼우다

- 1

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

x = - 1

arctan (\frac{- 1}{3}) + arctan (\frac{- 1}{2}) = arctan (- 1)

다듬다

- 0.78539 \dots = - 0.78539 \dots

\Rightarrow 참

솔루션 확인

1 :

참

1

n = 1

끼우다

1

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

x = 1

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (\frac{1}{2}) = arctan (1)

다듬다

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow 참

x = 0, x = - 1, x = 1

해법

해법

그래프

인기 있는 예