English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

3tan^3(x)-tan^2(x)-tan(x)-1=0

Решение

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Решение

x = \frac{π}{4} + πn

Градусы

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Шаги решения

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Решитe подстановкой

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Допустим:

tan (x) = u

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0

Найдите множитель

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 : (u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 3

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1, 3

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1 , 3}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1}

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{3 u ^{3}}{u} = 3 u^{2}

Частное = 3 u^{2}

Умножьте

u - 1

на

3 u^{2} : 3 u^{3} - 3 u^{2}

Вычтите

3 u^{3} - 3 u^{2}

из

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 2 u^{2} - u - 1

Поэтому

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

2 u^{2} - u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Частное = 2 u

Умножьте

u - 1

на

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Вычтите

2 u^{2} - 2 u

из

2 u^{2} - u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = u - 1

Поэтому

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Частное = 1

Умножьте

u - 1

на

1 : u - 1

Вычтите

u - 1

из

u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Решить

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Решить

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

Упростить

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

Примените правило мнимых чисел:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

Прибавьте/Вычтите числа:

- 4 + 12 = 8

= 8

Первичное разложение на множители

8 : 2^{3}

8

8

делится на

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

делится на

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

является простым числом, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Примените правило радикалов:

= 2 2^{2}

Примените правило радикалов:

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

коэффициент

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 + 22 i

Убрать общее значение

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

Перепишите

\frac{- 1 + 2 i}{3}

в стандартной комплексной форме:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

Примените правило дробей:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

коэффициент

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 - 22 i

Убрать общее значение

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

Перепишите

- \frac{1 + 2 i}{3}

в стандартной комплексной форме:

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

Примените правило дробей:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

Уберите скобки:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

Решением квадратного уравнения являются:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Решениями являются

u = 1, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Делаем обратную замену

u = tan (x)

tan (x) = 1, tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

tan (x) = 1, tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Общие решения для

tan (x) = 1

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

Не имеет решения

tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

Не имеет решения

tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

Не имеет решения

tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Не имеет решения

Объедините все решения

x = \frac{π}{4} + πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры