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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)=cos^2(x)-1

Lösung

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Lösung

x = 1.99787 \dots + 2 πn, x = - 1.99787 \dots + 2 πn

Grad

x = 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Löse mit Substitution

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Angenommen:

cos (x) = u

2 u = u^{2} - 1

2 u = u^{2} - 1 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

2 u = u^{2} - 1

Tausche die Seiten

u^{2} - 1 = 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

u^{2} - 1 = 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

u^{2} - 1 - 2 u = 2 u - 2 u

Vereinfache

u^{2} - 1 - 2 u = 0

u^{2} - 1 - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1 + 2, cos (x) = 1 - 2

cos (x) = 1 + 2, cos (x) = 1 - 2

cos (x) = 1 + 2 :

Keine Lösung

cos (x) = 1 + 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 1 - 2 : x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

cos (x) = 1 - 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 1 - 2

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1 - 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.99787 \dots + 2 πn, x = - 1.99787 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(v)csc(v)-csc(v)=4sin(v)-2

2 sin (v) csc (v) - csc (v) = 4 sin (v) - 2

2cos(2x)=4cos(x)

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

(sin(42))/(22)=(sin(B))/(12)

\frac{sin ( 4 2 ^{\circ} )}{22} = \frac{sin ( B )}{12}

sin(θ)= 16/14

sin (θ) = \frac{16}{14}

tan(θ)= 83/47

tan (θ) = \frac{83}{47}