English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

الحلّ

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

الحلّ

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

درجات

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

sin (x) = u :

على افتراض أنّ

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

حلّل إلى عوامل:

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

u - 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1, 2, 4

القواسم لـ

a_{0} : 1, 3,

القواسم لـ

a_{0} = 3, a_{n} = 4

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

اقسم:

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2} : u - 1

والمقام

Quotient = 4 u^{2}

4 u^{3} - 4 u^{2} : 4 u^{2}

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

من

4 u^{3} - 4 u^{2}

اطرح

باقي = - 4 u^{2} + u + 3

لذلك

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

اقسم:

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

- 4 u^{2} + u + 3

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u : u - 1

والمقام

Quotient = - 4 u

- 4 u^{2} + 4 u : - 4 u

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- 4 u^{2} + u + 3

من

- 4 u^{2} + 4 u

اطرح

باقي = - 3 u + 3

لذلك

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

\frac{- 3 u + 3}{u - 1}

اقسم:

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

- 3 u + 3

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- 3 u}{u} = - 3 : u - 1

والمقام

Quotient = - 3

- 3 u + 3 : - 3

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- 3 u + 3

من

- 3 u + 3

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

4 u^{2} - 4 u - 3

حلل إلى عوامل:

(2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

قسّم التعابير لمجموعات

4 u^{2} - 4 u - 3

تعريف

Factors of

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

12 : 2, 2, 3

12

12 = 6 \cdot 2, 2

ينقسم على

12

= 2 \cdot 6

6 = 3 \cdot 2, 2

ينقسم على

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiply the prime factors of

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Add the prime factors:

2, 3

Add 1 and the number

12

itself

1, 12

12

قواسم

1, 2, 3, 4, 6, 12

Negative factors of

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

For every two factors such that

u * v = - 12,

check if

u + v = - 4

Check

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

خطأCheck

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

صحيح

u = 2, v = - 6

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

من

2 u

اخرج العامل

4 u^{2} + 2 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

2 \cdot 2

كـ

4

اكتب مجددًا

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

2 u

قم باخراج العامل المشترك

= 2 u (2 u + 1)

- 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

من

- 3

اخرج العامل

- 6 u - 3

3 \cdot 2

كـ

6

اكتب مجددًا

= - 3 \cdot 2 u - 3

- 3

قم باخراج العامل المشترك

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

2 u + 1

قم باخراج العامل المشترك

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

u - 1 = 0

حلّ:

u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

2 u + 1 = 0

حلّ:

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

2 u = - 1

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

بسّط

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u - 3 = 0

حلّ:

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

انقل

3

إلى الجانب الأيمن

2 u - 3 = 0

للطرفين

3

أضف

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

بسّط

2 u = 3

2 u = 3

2

اقسم الطرفين على

2 u = 3

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

بسّط

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

The solutions are

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

sin (x) = 1 :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2} :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

لا يوجد حلّ

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

لا يوجد حلّ

وحّد الحلول

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

sin(x)=0.71

sin (x) = 0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

sin (2 x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos (2 x) = - 0.4, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

cos (x) = \frac{- 4}{\frac{8}{3} 3}

-2tan(x)+6=8

- 2 tan (x) + 6 = 8