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Popolare Trigonometria >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

Soluzione

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Soluzione

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gradi

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Risolvi per sostituzione

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Sia:

sin (x) = u

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

Fattorizza

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 3, a_{n} = 4

I divisori of

a_{0} : 1, 3,

I divisori di

a_{n} : 1, 2, 4

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividere

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

and the divisor

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quoziente = 4 u^{2}

Moltiplica

u - 1

per

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Sottrarre

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 4 u^{2} + u + 3

Quindi

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividere

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 4 u^{2} + u + 3

and the divisor

u - 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

Quoziente = - 4 u

Moltiplica

u - 1

per

- 4 u : - 4 u^{2} + 4 u

Sottrarre

- 4 u^{2} + 4 u

- 4 u^{2} + u + 3

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 3 u + 3

Quindi

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividere

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} : \frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 3 u + 3

and the divisor

u - 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quoziente = - 3

Moltiplica

u - 1

per

- 3 : - 3 u + 3

Sottrarre

- 3 u + 3

- 3 u + 3

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

Fattorizza

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

Suddividere l'espressione in gruppi

4 u^{2} - 4 u - 3

Definizione

Fattori di

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

12 : 2, 2, 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i fattori primi di

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

12

stesso

1, 12

I fattori di

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Fattori negativi di

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 12,

controllare se

u + v = - 4

Verifica

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

Vero

u = 2, v = - 6

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

Fattorizza

2 u

4 u^{2} + 2 u : 2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

Riscrivi

4

come

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

Fattorizzare dal termine comune

2 u

= 2 u (2 u + 1)

Fattorizza

- 3

- 6 u - 3 : - 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Riscrivi

6

come

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Fattorizzare dal termine comune

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Risolvi

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

2 u = 3

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Semplificare

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Le soluzioni sono

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluzioni generali per

sin (x) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

Nessuna soluzione

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin(x)=0.71

sin (x) = 0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

sin (2 x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos (2 x) = - 0.4, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

cos (x) = \frac{- 4}{\frac{8}{3} 3}

-2tan(x)+6=8

- 2 tan (x) + 6 = 8