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Popular Trigonometria >

sin(x)+4cos(x)+5=0

Solução

sin (x) + 4 cos (x) + 5 = 0

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

sin (x) + 4 cos (x) + 5 = 0

Subtrair

4 cos (x)

de ambos os lados

sin (x) + 5 = - 4 cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(sin (x) + 5)^{2} = (- 4 cos (x))^{2}

Subtrair

(- 4 cos (x))^{2}

de ambos os lados

(sin (x) + 5)^{2} - 16 cos^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(5 + sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (5 + sin (x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

(5 + sin (x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (x)) : 17 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 9

(5 + sin (x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (x))

(5 + sin (x))^{2} : 25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 5, b = sin (x)

= 5^{2} + 2 \cdot 5 sin (x) + sin^{2} (x)

Simplificar

5^{2} + 2 \cdot 5 sin (x) + sin^{2} (x) : 25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x)

5^{2} + 2 \cdot 5 sin (x) + sin^{2} (x)

5^{2} = 25

= 25 + 2 \cdot 5 sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 5 = 10

= 25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x)

= 25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x)

= 25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x) - 16 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

- 16 (1 - sin^{2} (x)) : - 16 + 16 sin^{2} (x)

- 16 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) sin^{2} (x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 sin^{2} (x)

= 25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x) - 16 + 16 sin^{2} (x)

Simplificar

25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x) - 16 + 16 sin^{2} (x) : 17 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 9

25 + 10 sin (x) + sin^{2} (x) - 16 + 16 sin^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 10 sin (x) + sin^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) + 25 - 16

Somar elementos similares:

sin^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) = 17 sin^{2} (x)

= 10 sin (x) + 17 sin^{2} (x) + 25 - 16

Somar/subtrair:

25 - 16 = 9

= 17 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 9

= 17 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 9

= 17 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 9

9 + 10 sin (x) + 17 sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

9 + 10 sin (x) + 17 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

9 + 10 u + 17 u^{2} = 0

9 + 10 u + 17 u^{2} = 0 : u = - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17}, u = - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17}

9 + 10 u + 17 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

17 u^{2} + 10 u + 9 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

17 u^{2} + 10 u + 9 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 17, b = 10, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 9}{2 \cdot 17}

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 9}{2 \cdot 17}

Simplificar

1 0^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 9 : 162 i

1 0^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 9

Multiplicar os números:

4 \cdot 17 \cdot 9 = 612

= 1 0^{2} - 612

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- a = i a

= i 612 - 1 0^{2}

- 1 0^{2} + 612 = 162

- 1 0^{2} + 612

1 0^{2} = 100

= - 100 + 612

Somar/subtrair:

- 100 + 612 = 512

= 512

Decomposição em fatores primos de

512 : 2^{9}

512

512

dividida por

2512 = 256 \cdot 2

= 2 \cdot 256

256

dividida por

2256 = 128 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 128

128

dividida por

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64

64

dividida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

dividida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

dividida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{9}

= 2^{9}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{8} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{8}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 2

Simplificar

= 162

= 162 i

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 16 2 i}{2 \cdot 17}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 10 + 16 2 i}{2 \cdot 17}, u_{2} = \frac{- 10 - 16 2 i}{2 \cdot 17}

u = \frac{- 10 + 16 2 i}{2 \cdot 17} : - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17}

\frac{- 10 + 16 2 i}{2 \cdot 17}

Multiplicar os números:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 10 + 16 2 i}{34}

Fatorar

- 10 + 162 i : 2 (- 5 + 82 i)

- 10 + 162 i

Reescrever como

= - 2 \cdot 5 + 2 \cdot 82 i

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 5 + 82 i)

= \frac{2 ( - 5 + 8 2 i )}{34}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 5 + 8 2 i}{17}

Reescrever

\frac{- 5 + 8 2 i}{17}

na forma complexa padrão:

- \frac{5}{17} + \frac{8 2}{17} i

\frac{- 5 + 8 2 i}{17}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 5 + 8 2 i}{17} = - \frac{5}{17} + \frac{8 2 i}{17}

= - \frac{5}{17} + \frac{8 2 i}{17}

= - \frac{5}{17} + \frac{8 2}{17} i

u = \frac{- 10 - 16 2 i}{2 \cdot 17} : - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17}

\frac{- 10 - 16 2 i}{2 \cdot 17}

Multiplicar os números:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 10 - 16 2 i}{34}

Fatorar

- 10 - 162 i : - 2 (5 + 82 i)

- 10 - 162 i

Reescrever como

= - 2 \cdot 5 - 2 \cdot 82 i

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (5 + 82 i)

= - \frac{2 ( 5 + 8 2 i )}{34}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{5 + 8 2 i}{17}

Reescrever

- \frac{5 + 8 2 i}{17}

na forma complexa padrão:

- \frac{5}{17} - \frac{8 2}{17} i

- \frac{5 + 8 2 i}{17}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{5 + 8 2 i}{17} = - (\frac{5}{17}) - (\frac{8 2 i}{17})

= - (\frac{5}{17}) - (\frac{8 2 i}{17})

Remover os parênteses:

(a) = a

= - \frac{5}{17} - \frac{8 2 i}{17}

= - \frac{5}{17} - \frac{8 2}{17} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17}, u = - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17}, sin (x) = - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17}

sin (x) = - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17}, sin (x) = - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17}

sin (x) = - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{5}{17} + i \frac{8 2}{17}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17} :

Sem solução

sin (x) = - \frac{5}{17} - i \frac{8 2}{17}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

sin (x) + 4 cos (x) + 5 = 0

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Gráfico

Exemplos populares

sec(x)=-5

sec (x) = - 5

sin(2t-pi/5)=-1/3

sin (2 t - \frac{π}{5}) = - \frac{1}{3}

2(sin(x))^2-cos(x)-1=0

2 (sin (x))^{2} - cos (x) - 1 = 0

arctan(3x)+arctan(x)= pi/4

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

4sin(θ)=sqrt(3)sec(θ),0<= θ<180

4 sin (θ) = 3 sec (θ), 0 \leq θ < 18 0^{\circ}