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Beliebt Trigonometrie >

1-sin(x)=3cos(x)

Lösung

1 - sin (x) = 3 cos (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - 0.92729 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - sin (x) = 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(1 - sin (x))^{2} = (3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(1 - sin (x))^{2} - 9 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin (x))^{2} - 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(1 - sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x)) : 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

(1 - sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x))

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 9 (1 - sin^{2} (x)) : - 9 + 9 sin^{2} (x)

- 9 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x) : 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 9 sin^{2} (x) + 1 - 9

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (x) + 9 sin^{2} (x) = 10 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 10 sin^{2} (x) + 1 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 9 = - 8

= 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

= 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

= 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

- 8 + 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 8 + 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 8 + 10 u^{2} - 2 u = 0

- 8 + 10 u^{2} - 2 u = 0 : u = 1, u = - \frac{4}{5}

- 8 + 10 u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 2 u - 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} - 2 u - 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = - 2, c = - 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 10 (- 8) = 18

(- 2)^{2} - 4 \cdot 10 (- 8)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Addiere die Zahlen:

4 + 320 = 324

= 324

Faktorisiere die Zahl:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 18}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 \cdot 10} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 18}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 18}{2 \cdot 10}

Addiere die Zahlen:

2 + 18 = 20

= \frac{20}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{20}{20}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 \cdot 10} : - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 18}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 18}{2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 18 = - 16

= \frac{- 16}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 16}{20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{4}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{4}{5}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 - sin (x) = 3 cos (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

1 - sin (x) = 3 cos (x)

ein, um zu lösen

1 - sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

1 - sin (x) = 3 cos (x)

ein, um zu lösen

1 - sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3 cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.8 = 1.8

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

1 - sin (x) = 3 cos (x)

ein, um zu lösen

1 - sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3 cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.8 = - 1.8

\Rightarrow Falsch

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - 0.92729 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(a)= 8/5

tan (a) = \frac{8}{5}

2cos^2(x)-7cos(x)+3=0,(0,2pi)

2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 3 = 0, (0, 2 π)

cos^2(x)-3sin^2(x)-1=0

cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 1 = 0

tanh(x)+4sech(x)=4

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

36/49+cos^2(θ)=1

\frac{36}{49} + cos^{2} (θ) = 1