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Beliebt Trigonometrie >

4/(cos(x))-6=tan(x)

Lösung

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

Lösung

x = 2 π - 0.68802 \dots + 2 πn, x = 1.01832 \dots + 2 πn

Grad

x = 320.57910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 58.34553 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

Subtrahiere

tan (x)

von beiden Seiten

\frac{4}{cos ( x )} - 6 - tan (x) = 0

Vereinfache

\frac{4}{cos ( x )} - 6 - tan (x) : \frac{4 - 6 cos ( x ) - tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{4}{cos ( x )} - 6 - tan (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

6 = \frac{6 cos ( x )}{cos ( x )}, tan (x) = \frac{tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{4}{cos ( x )} - \frac{6 cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 - 6 cos ( x ) - tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{4 - 6 cos ( x ) - tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 - 6 cos (x) - tan (x) cos (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

4 - 6 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) = 0

Vereinfache

4 - 6 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) : 4 - 6 cos (x) - sin (x)

4 - 6 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) = sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= sin (x)

= 4 - 6 cos (x) - sin (x)

4 - 6 cos (x) - sin (x) = 0

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 - 6 cos (x) = sin (x)

Quadriere beide Seiten

(4 - 6 cos (x))^{2} = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

(4 - 6 cos (x))^{2} - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(4 - 6 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 - 6 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

(4 - 6 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x)) : 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

(4 - 6 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

(4 - 6 cos (x))^{2} : 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 6 cos (x)

= 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) + (6 cos (x))^{2}

Vereinfache

4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) + (6 cos (x))^{2} : 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) + (6 cos (x))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) = 48 cos (x)

2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 \cdot 6 = 48

= 48 cos (x)

(6 cos (x))^{2} = 36 cos^{2} (x)

(6 cos (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} cos^{2} (x)

6^{2} = 36

= 36 cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Vereinfache

16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) : 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + 16 - 1

Addiere gleiche Elemente:

36 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 37 cos^{2} (x)

= - 48 cos (x) + 37 cos^{2} (x) + 16 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

16 - 1 = 15

= 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

= 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

= 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

15 + 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

15 + 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

15 + 37 u^{2} - 48 u = 0

15 + 37 u^{2} - 48 u = 0 : u = \frac{24 + 21}{37}, u = \frac{24 - 21}{37}

15 + 37 u^{2} - 48 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} - 48 u + 15 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

37 u^{2} - 48 u + 15 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 37, b = - 48, c = 15

u_{1, 2} = \frac{- ( - 48 ) \pm ( - 48 ) ^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 48 ) \pm ( - 48 ) ^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15}{2 \cdot 37}

(- 48)^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15 = 221

(- 48)^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 48)^{2} = 4 8^{2}

= 4 8^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 37 \cdot 15 = 2220

= 4 8^{2} - 2220

4 8^{2} = 2304

= 2304 - 2220

Subtrahiere die Zahlen:

2304 - 2220 = 84

= 84

Primfaktorzerlegung von

84 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

84

84

ist durch

284 = 42 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 42

42

ist durch

242 = 21 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 221

u_{1, 2} = \frac{- ( - 48 ) \pm 2 21}{2 \cdot 37}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 48 ) + 2 21}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- ( - 48 ) - 2 21}{2 \cdot 37}

u = \frac{- ( - 48 ) + 2 21}{2 \cdot 37} : \frac{24 + 21}{37}

\frac{- ( - 48 ) + 2 21}{2 \cdot 37}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{48 + 2 21}{2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{48 + 2 21}{74}

Faktorisiere

48 + 221 : 2 (24 + 21)

48 + 221

Schreibe um

= 2 \cdot 24 + 221

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (24 + 21)

= \frac{2 ( 24 + 21 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{24 + 21}{37}

u = \frac{- ( - 48 ) - 2 21}{2 \cdot 37} : \frac{24 - 21}{37}

\frac{- ( - 48 ) - 2 21}{2 \cdot 37}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{48 - 2 21}{2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{48 - 2 21}{74}

Faktorisiere

48 - 221 : 2 (24 - 21)

48 - 221

Schreibe um

= 2 \cdot 24 - 221

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (24 - 21)

= \frac{2 ( 24 - 21 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{24 - 21}{37}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{24 + 21}{37}, u = \frac{24 - 21}{37}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}, cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}, cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

cos (x) = \frac{24 + 21}{37} : x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24 - 21}{37} : x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

ein, um zu lösen

\frac{4}{cos ( arccos ( \frac{24 + 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.82202 \dots = 0.82202 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

ein, um zu lösen

\frac{4}{cos ( 2 π - arccos ( \frac{24 + 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.82202 \dots = - 0.82202 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

ein, um zu lösen

\frac{4}{cos ( arccos ( \frac{24 - 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.62202 \dots = 1.62202 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

ein, um zu lösen

\frac{4}{cos ( 2 π - arccos ( \frac{24 - 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.62202 \dots = - 1.62202 \dots

\Rightarrow Falsch

x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 π - 0.68802 \dots + 2 πn, x = 1.01832 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2a)cot(a+20)=1

tan (2 a) cot (a + 2 0^{\circ}) = 1

sqrt(2)sin(3x)-1=0,0,2pi

2 sin (3 x) - 1 = 0, 0, 2 π

4cos^2(x)=2cos(x)+1

4 cos^{2} (x) = 2 cos (x) + 1

(13)/(sin(108))= 9/(sin(x))

\frac{13}{sin ( 10 8 ^{\circ} )} = \frac{9}{sin ( x )}

tan^2(x)+5cos(x)-8=0

tan^{2} (x) + 5 cos (x) - 8 = 0