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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-7cos(x)+6=0

Lösung

cos (2 x) - 7 cos (x) + 6 = 0

Lösung

x = 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - 7 cos (x) + 6 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

6 + cos (2 x) - 7 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 6 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 7 cos (x)

Vereinfache

6 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 7 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 5

6 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 7 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 6 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

6 - 1 = 5

= 2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 5

= 2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 5

5 + 2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

5 + 2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

5 + 2 u^{2} - 7 u = 0

5 + 2 u^{2} - 7 u = 0 : u = \frac{5}{2}, u = 1

5 + 2 u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 7 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 7 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 7, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot 2}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 3

(- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 5 = 40

= 7^{2} - 40

7^{2} = 49

= 49 - 40

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 40 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 7 ) + 3}{2 \cdot 2} : \frac{5}{2}

\frac{- ( - 7 ) + 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

7 + 3 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{10}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{2}

u = \frac{- ( - 7 ) - 3}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 7 ) - 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5}{2}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{5}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{5}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6cos(2θ)+3=0

6 cos (2 θ) + 3 = 0

sin(3x)-2=-3sin(3x)

sin (3 x) - 2 = - 3 sin (3 x)

1/(cos(x))+sec^2(x)-1-cos(x)=0

\frac{1}{cos ( x )} + sec^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0

tan(θ)=(sqrt(3))/3 ,180<= θ<= 360

tan (θ) = \frac{3}{3}, 18 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

7.5=5sin(pi/2 (x-2))+5

7.5 = 5 sin (\frac{π}{2} (x - 2)) + 5