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Popolare Trigonometria >

2sin^3(x/2)cos(x/2)=cos^2(x/2)sin(x)

Soluzione

2 sin^{3} (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = cos^{2} (\frac{x}{2}) sin (x)

Soluzione

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Gradi

x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sin^{3} (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = cos^{2} (\frac{x}{2}) sin (x)

Sottrarre

cos^{2} (\frac{x}{2}) sin (x)

da entrambi i lati

2 sin^{3} (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) - cos^{2} (\frac{x}{2}) sin (x) = 0

Sia:

u = \frac{x}{2}

2 sin^{3} (u) cos (u) - cos^{2} (u) sin (2 u) = 0

Fattorizza

2 sin^{3} (u) cos (u) - cos^{2} (u) sin (2 u) : cos (u) (2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u))

2 sin^{3} (u) cos (u) - cos^{2} (u) sin (2 u)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 sin^{3} (u) cos (u) - cos (u) cos (u) sin (2 u)

Fattorizzare dal termine comune

cos (u)

= cos (u) (2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u))

cos (u) (2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (u) = 0 or 2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u) = 0

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 0

Soluzioni generali per

cos (u) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + πn, u = \frac{π}{4} + πn

2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 sin^{3} (u) - cos (u) sin (2 u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin^{3} (u) - cos (u) \cdot 2 sin (u) cos (u)

cos (u) \cdot 2 sin (u) cos (u) = 2 cos^{2} (u) sin (u)

cos (u) \cdot 2 sin (u) cos (u)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (u) cos (u) = cos^{1 + 1} (u)

= 2 sin (u) cos^{1 + 1} (u)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 sin (u) cos^{2} (u)

= 2 sin^{3} (u) - 2 cos^{2} (u) sin (u)

2 sin^{3} (u) - 2 cos^{2} (u) sin (u) = 0

Fattorizza

2 sin^{3} (u) - 2 cos^{2} (u) sin (u) : 2 sin (u) (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

2 sin^{3} (u) - 2 cos^{2} (u) sin (u)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (u) = sin (u) sin^{2} (u)

= 2 sin (u) sin^{2} (u) - 2 sin (u) cos^{2} (u)

Fattorizzare dal termine comune

2 sin (u)

= 2 sin (u) (sin^{2} (u) - cos^{2} (u))

Fattorizza

sin^{2} (u) - cos^{2} (u) : (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

sin^{2} (u) - cos^{2} (u)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (u) - cos^{2} (u) = (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

= (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

= 2 sin (u) (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u))

2 sin (u) (sin (u) + cos (u)) (sin (u) - cos (u)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin (u) = 0 or sin (u) + cos (u) = 0 or sin (u) - cos (u) = 0

sin (u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 0

Soluzioni generali per

sin (u) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

Risolvi

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) + cos (u) = 0 : u = \frac{3 π}{4} + πn

sin (u) + cos (u) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (u) + cos (u) = 0

Dividere entrambi lati per

\frac{sin ( u ) + cos ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

Semplificare

\frac{sin ( u )}{cos ( u )} + 1 = 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (u) + 1 = 0

tan (u) + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

tan (u) + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

tan (u) + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

tan (u) = - 1

tan (u) = - 1

Soluzioni generali per

tan (u) = - 1

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{3 π}{4} + πn

u = \frac{3 π}{4} + πn

sin (u) - cos (u) = 0 : u = \frac{π}{4} + πn

sin (u) - cos (u) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (u) - cos (u) = 0

Dividere entrambi lati per

\frac{sin ( u ) - cos ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

Semplificare

\frac{sin ( u )}{cos ( u )} - 1 = 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (u) - 1 = 0

tan (u) - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

tan (u) - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

tan (u) - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

tan (u) = 1

tan (u) = 1

Soluzioni generali per

tan (u) = 1

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{π}{4} + πn

u = \frac{π}{4} + πn

Combinare tutte le soluzioni

u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + πn, u = \frac{π}{4} + πn

Combinare tutte le soluzioni

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{3 π}{4} + πn, u = \frac{π}{4} + πn

Sostituire indietro

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = 2 πn : x = 4 πn

\frac{x}{2} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Semplificare

x = 4 πn

x = 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn : x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn : \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

2 \cdot \frac{3 π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{4}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{6 π}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + πn : x = \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

2 \cdot \frac{π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sqrt(3)sin(x)-2cos(x)=sqrt(7)

3 sin (x) - 2 cos (x) = 7

cos(t)= 40/41

cos (t) = \frac{40}{41}

cos^2(a)+cos(a)=0

cos^{2} (a) + cos (a) = 0

-2cos(θ-1)=0.5

- 2 cos (θ - 1) = 0.5

cos(θ)= 1/9

cos (θ) = \frac{1}{9}