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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-9cos(x)+5=0

Lösung

cos (2 x) - 9 cos (x) + 5 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - 9 cos (x) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 + cos (2 x) - 9 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 5 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 9 cos (x)

Vereinfache

5 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 9 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 9 cos (x) + 4

5 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 9 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - 9 cos (x) + 5 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

5 - 1 = 4

= 2 cos^{2} (x) - 9 cos (x) + 4

= 2 cos^{2} (x) - 9 cos (x) + 4

4 + 2 cos^{2} (x) - 9 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

4 + 2 cos^{2} (x) - 9 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

4 + 2 u^{2} - 9 u = 0

4 + 2 u^{2} - 9 u = 0 : u = 4, u = \frac{1}{2}

4 + 2 u^{2} - 9 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 9 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 9 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 9, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}{2 \cdot 2}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 7

(- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 9^{2} - 32

9^{2} = 81

= 81 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

81 - 32 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 7}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 7}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 7}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 9 ) + 7}{2 \cdot 2} : 4

\frac{- ( - 9 ) + 7}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{9 + 7}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

9 + 7 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{16}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{4} = 4

= 4

u = \frac{- ( - 9 ) - 7}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 9 ) - 7}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{9 - 7}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 7 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 4, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 4, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 4, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 4 :

Keine Lösung

cos (x) = 4

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(t)= 1/2

cos^{2} (t) = \frac{1}{2}

2cos^2(θ)-1=sin(θ),0<= θ<= 180

2 cos^{2} (θ) - 1 = sin (θ), 0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

cos^4(x)-sin^4(x)= 1/2

cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = \frac{1}{2}

cos(x)= 1/4 ,0<= x<= 2pi

cos (x) = \frac{1}{4}, 0 \leq x \leq 2 π

2=2cos(t)

2 = 2 cos (t)