English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

4sin(x)+5cos(x)=6

Решение

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Решение

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

Градусы

x = 59.09912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18.22049 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Вычтите

5 cos (x)

с обеих сторон

4 sin (x) = 6 - 5 cos (x)

Возведите в квадрат обе части

(4 sin (x))^{2} = (6 - 5 cos (x))^{2}

Вычтите

(6 - 5 cos (x))^{2}

с обеих сторон

16 sin^{2} (x) - 36 + 60 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

- 36 + 16 sin^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Упростите

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Расширить

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Перемножьте числа:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Упростить

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Добавьте похожие элементы:

- 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 41 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

Прибавьте/Вычтите числа:

- 36 + 16 = - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

Решитe подстановкой

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0 : u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = - 41, b = 60, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20) = 85

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20)

Примените правило

- (- a) = a

= 6 0^{2} - 4 \cdot 41 \cdot 20

Перемножьте числа:

4 \cdot 41 \cdot 20 = 3280

= 6 0^{2} - 3280

6 0^{2} = 3600

= 3600 - 3280

Вычтите числа:

3600 - 3280 = 320

= 320

Первичное разложение на множители

320 : 2^{6} \cdot 5

320

320

делится на

2320 = 160 \cdot 2

= 2 \cdot 160

160

делится на

2160 = 80 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 80

80

делится на

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40

делится на

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20

делится на

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

делится на

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

Примените правило радикалов:

n ab = n a n b

= 5 2^{6}

Примените правило радикалов:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5

Уточнить

= 85

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 8 5}{2 ( - 41 )}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

\frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a

= \frac{- 60 + 8 5}{- 2 \cdot 41}

Перемножьте числа:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 + 8 5}{- 82}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 + 85 = - (60 - 85)

= \frac{60 - 8 5}{82}

коэффициент

60 - 85 : 4 (15 - 25)

60 - 85

Перепишите как

= 4 \cdot 15 - 4 \cdot 25

Убрать общее значение

4

= 4 (15 - 25)

= \frac{4 ( 15 - 2 5 )}{82}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

u = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

\frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a

= \frac{- 60 - 8 5}{- 2 \cdot 41}

Перемножьте числа:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 - 8 5}{- 82}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 - 85 = - (60 + 85)

= \frac{60 + 8 5}{82}

коэффициент

60 + 85 : 4 (15 + 25)

60 + 85

Перепишите как

= 4 \cdot 15 + 4 \cdot 25

Убрать общее значение

4

= 4 (15 + 25)

= \frac{4 ( 15 + 2 5 )}{82}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

Общие решения для

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

Общие решения для

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Объедините все решения

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Верно

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Для

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

подключите

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Уточнить

6 = 6

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Неверно

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Для

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

подключите

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Уточнить

- 0.86445 \dots = 6

\Rightarrow Неверно

Проверьте решение

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Верно

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Для

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

подключите

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Уточнить

6 = 6

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

Неверно

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

Для

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

подключите

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

Уточнить

3.49860 \dots = 6

\Rightarrow Неверно

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры