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sin(2θ)=sqrt(2)sin(θ)

Lösung

sin (2 θ) = 2 sin (θ)

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 θ) = 2 sin (θ)

Subtrahiere

2 sin (θ)

von beiden Seiten

sin (2 θ) - 2 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 θ) - sin (θ) 2

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) - 2 sin (θ)

- sin (θ) 2 + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- sin (θ) 2 + 2 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (- 2 + 2 cos (θ))

- sin (θ) 2 + 2 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (- 2 + 2 cos (θ))

sin (θ) (- 2 + 2 cos (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or - 2 + 2 cos (θ) = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

- 2 + 2 cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

- 2 + 2 cos (θ) = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

- 2 + 2 cos (θ) = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

- 2 + 2 cos (θ) + 2 = 0 + 2

Vereinfache

2 cos (θ) = 2

2 cos (θ) = 2

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (θ) = 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{2}{2}

Vereinfache

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

5 cos (x) - 3 = 1

sin (x) = 0.707

cos (θ) = \frac{4 2}{7}, sin (θ)

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

cot (3 x) = - tan (- \frac{2 π}{5})