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Popular Trigonometria >

4sin(x)+3csc(x)=7,0<= x<= 360

Solução

4 sin (x) + 3 csc (x) = 7, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

Solução

x = 0.84806 \dots, x = 18 0^{\circ} - 0.84806 \dots, x = 9 0^{\circ}

Radianos

x = 0.84806 \dots, x = π - 0.84806 \dots, x = \frac{π}{2}

Passos da solução

4 sin (x) + 3 csc (x) = 7, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

Subtrair

7

de ambos os lados

4 sin (x) + 3 csc (x) - 7 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 7 + 3 csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 7 + 3 csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= - 7 + 3 csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

- 7 + \frac{4}{csc ( x )} + 3 csc (x) = 0

Usando o método de substituição

- 7 + \frac{4}{csc ( x )} + 3 csc (x) = 0

Sea:

csc (x) = u

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0 : u = \frac{4}{3}, u = 1

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 7 u + \frac{4}{u} u + 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 7 u + \frac{4}{u} u + 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 4

Simplificar

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

Resolver

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0 : u = \frac{4}{3}, u = 1

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 7 u + 4 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

3 u^{2} - 7 u + 4 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 3, b = - 7, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

Multiplicar os números:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Subtrair:

49 - 48 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 1}{2 \cdot 3}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3} : \frac{4}{3}

\frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{7 + 1}{2 \cdot 3}

Somar:

7 + 1 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{8}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{4}{3}

u = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{7 - 1}{2 \cdot 3}

Subtrair:

7 - 1 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{4}{3}, u = 1

u = \frac{4}{3}, u = 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{4}{3}, u = 1

Substituir na equação

u = csc (x)

csc (x) = \frac{4}{3}, csc (x) = 1

csc (x) = \frac{4}{3}, csc (x) = 1

csc (x) = \frac{4}{3}, 0 \leq x \leq 36 0^{\circ} : x = arccsc (\frac{4}{3}), x = 18 0^{\circ} - arccsc (\frac{4}{3})

csc (x) = \frac{4}{3}, 0 \leq x \leq 36 0^{\circ}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

csc (x) = \frac{4}{3}

Soluções gerais para

csc (x) = \frac{4}{3}

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arccsc (a) + 36 0^{\circ} n

x = arccsc (\frac{4}{3}) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arccsc (\frac{4}{3}) + 36 0^{\circ} n

x = arccsc (\frac{4}{3}) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arccsc (\frac{4}{3}) + 36 0^{\circ} n

Soluções para o intervalo

0 \leq x \leq 36 0^{\circ}

x = arccsc (\frac{4}{3}), x = 18 0^{\circ} - arccsc (\frac{4}{3})

csc (x) = 1, 0 \leq x \leq 36 0^{\circ} : x = 9 0^{\circ}

csc (x) = 1, 0 \leq x \leq 36 0^{\circ}

Soluções gerais para

csc (x) = 1

csc (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Soluções para o intervalo

0 \leq x \leq 36 0^{\circ}

x = 9 0^{\circ}

Combinar toda as soluções

x = arccsc (\frac{4}{3}), x = 18 0^{\circ} - arccsc (\frac{4}{3}), x = 9 0^{\circ}

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.84806 \dots, x = 18 0^{\circ} - 0.84806 \dots, x = 9 0^{\circ}

Gráfico

Exemplos populares

1/(cos(x))=3

\frac{1}{cos ( x )} = 3

2sin(x)cos(x)=(sqrt(3))/2

2 sin (x) cos (x) = \frac{3}{2}

sin(2θ)=-(2sqrt(6))/7 ,pi<= θ<= (3pi)/2

sin (2 θ) = - \frac{2 6}{7}, π \leq θ \leq \frac{3 π}{2}

cos(2t)=(sqrt(3))/2

cos (2 t) = \frac{3}{2}

cos(x)=-0.3178,0<= x<= 2pi

cos (x) = - 0.3178, 0 \leq x \leq 2 π