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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)+sqrt(3)cos(x)=-1

Solution

cos (2 x) + 3 cos (x) = - 1

Solution

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Degrés

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (2 x) + 3 cos (x) = - 1

Soustraire

- 1

des deux côtés

cos (2 x) + 3 cos (x) + 1 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 + cos (2 x) + cos (x) 3

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 3 cos (x)

Simplifier

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 3 cos (x)

Grouper comme termes

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x)

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x)

2 cos^{2} (x) + cos (x) 3 = 0

Résoudre par substitution

2 cos^{2} (x) + cos (x) 3 = 0

Soit :

cos (x) = u

2 u^{2} + u 3 = 0

2 u^{2} + u 3 = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{2}

2 u^{2} + u 3 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} + 3 u = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm ( 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm ( 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 3

(3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

= 3 - 0

Soustraire les nombres :

3 - 0 = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 3}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- 3 + 3}{2 \cdot 2}

Additionner les éléments similaires :

- 3 + 3 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 3 - 3}{2 \cdot 2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3 - 3}{2 \cdot 2}

Additionner les éléments similaires :

- 3 - 3 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 3}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{3}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 0, u = - \frac{3}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{2} : x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{3}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

2cos(α)=sqrt(3)

2 cos (α) = 3

sqrt(3)tan(x)-2sin(x)=0

3 tan (x) - 2 sin (x) = 0

2sin^2(2x)-cos(2x)-1=0

2 sin^{2} (2 x) - cos (2 x) - 1 = 0

cos(x)+sqrt(3)sin(x)=2

cos (x) + 3 sin (x) = 2

cos(θ)=(sqrt(11))/5

cos (θ) = \frac{11}{5}