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Popular Trigonometria >

1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))=2csc(x)

Solução

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

Subtrair

2 csc (x)

de ambos os lados

\frac{2 cos ^{2} ( x ) csc ( x ) - 2 csc ( x ) + 2}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (x) csc (x) - 2 csc (x) + 2 = 0

Expresar com seno, cosseno

2 cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} - 2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 2 = 0

Simplificar

2 cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} - 2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 2 : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

2 cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} - 2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} + 2

2 cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

2 cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{2}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} - \frac{2}{sin ( x )} + 2

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2}{sin ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2}{sin ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2}{sin ( x )} + 2

Converter para fração:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2}{sin ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - 2 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (x) - 2 + 2 sin (x) = 0

Subtrair

2 sin (x)

de ambos os lados

2 cos^{2} (x) - 2 = - 2 sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} = (- 2 sin (x))^{2}

Subtrair

(- 2 sin (x))^{2}

de ambos os lados

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - 4 sin^{2} (x) = 0

Fatorar

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - 4 sin^{2} (x) : 4 (cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - 4 sin^{2} (x)

Reescrever

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - 4 sin^{2} (x)

como

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - (2 sin (x))^{2}

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - 4 sin^{2} (x)

Reescrever

4

como

2^{2}

= (2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - 2^{2} sin^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= (2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - (2 sin (x))^{2}

= (2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - (2 sin (x))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos^{2} (x) - 2)^{2} - (2 sin (x))^{2} = ((2 cos^{2} (x) - 2) + 2 sin (x)) ((2 cos^{2} (x) - 2) - 2 sin (x))

= ((2 cos^{2} (x) - 2) + 2 sin (x)) ((2 cos^{2} (x) - 2) - 2 sin (x))

Simplificar

= (2 cos^{2} (x) + 2 sin (x) - 2) (2 cos^{2} (x) - 2 sin (x) - 2)

Fatorar

2 cos^{2} (x) - 2 + 2 sin (x) : 2 (cos^{2} (x) - 1 + sin (x))

2 cos^{2} (x) - 2 + 2 sin (x)

Fatorar o termo comum

2

= 2 (cos^{2} (x) - 1 + sin (x))

= 2 (cos^{2} (x) + sin (x) - 1) (2 cos^{2} (x) - 2 sin (x) - 2)

Fatorar

2 cos^{2} (x) - 2 - 2 sin (x) : 2 (cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

2 cos^{2} (x) - 2 - 2 sin (x)

Fatorar o termo comum

2

= 2 (cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

= 2 (cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) \cdot 2 (cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

Simplificar

= 4 (cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

4 (cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (cos^{2} (x) - 1 - sin (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0 or cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0

cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{2} (x) + sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin (x) - sin^{2} (x)

sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} + u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Somar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Somar/subtrair:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrair:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 0, u = 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = 1

sin (x) = 0, sin (x) = 1

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{2} (x) - sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - sin (x) - sin^{2} (x)

- sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

- sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- u - u^{2} = 0

- u - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- u - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} - u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Somar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrair:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 1, u = 0

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = 0

sin (x) = - 1, sin (x) = 0

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

2 πn :

Falso

2 πn

Inserir

n = 1

2 π 1

Para

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

inserir

x = 2 π 1

\frac{1}{1 - cos ( 2 π 1 )} + \frac{1}{1 + cos ( 2 π 1 )} = 2 csc (2 π 1)

Indefinido

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserir

n = 1

π + 2 π 1

Para

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

inserir

x = π + 2 π 1

\frac{1}{1 - cos ( π + 2 π 1 )} + \frac{1}{1 + cos ( π + 2 π 1 )} = 2 csc (π + 2 π 1)

Indefinido

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Para

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

inserir

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

\frac{1}{1 - cos ( \frac{π}{2} + 2 π 1 )} + \frac{1}{1 + cos ( \frac{π}{2} + 2 π 1 )} = 2 csc (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Para

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 csc (x)

inserir

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

\frac{1}{1 - cos ( \frac{3 π}{2} + 2 π 1 )} + \frac{1}{1 + cos ( \frac{3 π}{2} + 2 π 1 )} = 2 csc (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

2 = - 2

\Rightarrow Falso

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(θ)=0.75

4.58^2=3.3^2+3.3^2-2(3.3)(3.3)cos(x)

4-3sin(θ)=7

sin(x)cos(x)=-1/4 ,0<= x<= 2pi

tan(x)=(4/3)