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Beliebt Trigonometrie >

5cos(x)+2sin(x)=2

Lösung

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

Lösung

x = - 0.80978 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grad

x = - 46.39718 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

Subtrahiere

2 sin (x)

von beiden Seiten

5 cos (x) = 2 - 2 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(5 cos (x))^{2} = (2 - 2 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 - 2 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

25 cos^{2} (x) - 4 + 8 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + 25 cos^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Vereinfache

- 4 + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x) : 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

- 4 + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Multipliziere aus

25 (1 - sin^{2} (x)) : 25 - 25 sin^{2} (x)

25 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 sin^{2} (x)

= - 4 + 25 - 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Vereinfache

- 4 + 25 - 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x) : 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

- 4 + 25 - 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 29 sin^{2} (x)

= - 4 + 25 - 29 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 25 = 21

= 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

= 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

= 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

21 - 29 sin^{2} (x) + 8 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

21 - 29 sin^{2} (x) + 8 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

21 - 29 u^{2} + 8 u = 0

21 - 29 u^{2} + 8 u = 0 : u = - \frac{21}{29}, u = 1

21 - 29 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 29 u^{2} + 8 u + 21 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 29 u^{2} + 8 u + 21 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 29, b = 8, c = 21

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 29 ) \cdot 21}{2 ( - 29 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 29 ) \cdot 21}{2 ( - 29 )}

8^{2} - 4 (- 29) \cdot 21 = 50

8^{2} - 4 (- 29) \cdot 21

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 29 \cdot 21

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 29 \cdot 21 = 2436

= 8^{2} + 2436

8^{2} = 64

= 64 + 2436

Addiere die Zahlen:

64 + 2436 = 2500

= 2500

Faktorisiere die Zahl:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 50}{2 ( - 29 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 50}{2 ( - 29 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 50}{2 ( - 29 )}

u = \frac{- 8 + 50}{2 ( - 29 )} : - \frac{21}{29}

\frac{- 8 + 50}{2 ( - 29 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 50}{- 2 \cdot 29}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 50 = 42

= \frac{42}{- 2 \cdot 29}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{42}{- 58}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{42}{58}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{21}{29}

u = \frac{- 8 - 50}{2 ( - 29 )} : 1

\frac{- 8 - 50}{2 ( - 29 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 50}{- 2 \cdot 29}

Subtrahiere die Zahlen:

- 8 - 50 = - 58

= \frac{- 58}{- 2 \cdot 29}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 58}{- 58}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{58}{58}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{21}{29}, u = 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{21}{29}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{21}{29}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{21}{29} : x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{21}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{21}{29}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{21}{29}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

5 cos (π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1) + 2 sin (π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 4.89655 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

5 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.80978 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2θ)+sin(θ)+2cos(θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

sin (2 θ) + sin (θ) + 2 cos (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

4sin(x)+3cos(x)=4

4 sin (x) + 3 cos (x) = 4

3sec^2(θ)-12=5sec(θ)

3 sec^{2} (θ) - 12 = 5 sec (θ)

3cos(x)-sqrt(3)=cos(x)

3 cos (x) - 3 = cos (x)

36cos(2x)=0

36 cos (2 x) = 0