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Beliebt Trigonometrie >

2sin(θ)=2+2cos(θ)

Lösung

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

Lösung

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (θ))^{2} = (2 + 2 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(2 + 2 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (θ) - 4 - 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ) - 8 cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) - 8 cos (θ)

Vereinfache

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) - 8 cos (θ) : - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) - 8 cos (θ)

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (θ)) : 4 - 4 cos^{2} (θ)

4 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (θ)

= - 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

Vereinfache

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) : - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) - 4 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- 4 cos^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) = - 8 cos^{2} (θ)

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) - 4 + 4

- 4 + 4 = 0

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

- 8 cos (θ) - 8 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 8 cos (θ) - 8 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 8 u - 8 u^{2} = 0

- 8 u - 8 u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- 8 u - 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} - 8 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 8 u^{2} - 8 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 8, b = - 8, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 0}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 0}{2 ( - 8 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 8) \cdot 0 = 8

(- 8)^{2} - 4 (- 8) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 8^{2} + 0

8^{2} + 0 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 8}{2 ( - 8 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 8}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 8}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 8}{2 ( - 8 )} : - 1

\frac{- ( - 8 ) + 8}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 8}{- 2 \cdot 8}

Addiere die Zahlen:

8 + 8 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{16}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{16}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 8 ) - 8}{2 ( - 8 )} : 0

\frac{- ( - 8 ) - 8}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 8}{- 2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 8 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{0}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{16}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 0

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

ein, um zu lösen

2 sin (π + 2 π 1) = 2 + 2 cos (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

ein, um zu lösen

2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2 + 2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

ein, um zu lösen

2 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 2 + 2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 2 = 2

\Rightarrow Falsch

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(x)+0.5sec(x)=0

sec^{2} (x) + 0.5 sec (x) = 0

solvefor x,ysin(xy)=y^2+2

so l v e f or x, y sin (x y) = y^{2} + 2

3sin(x)+1=2csc(x)

3 sin (x) + 1 = 2 csc (x)

cos(x)=a

cos (x) = a

3sin(x)+3cos(2x)=2

3 sin (x) + 3 cos (2 x) = 2