English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

1+cot^2(x)=8sin(x)

Решение

1 + cot^{2} (x) = 8 sin (x)

Решение

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Градусы

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

1 + cot^{2} (x) = 8 sin (x)

Вычтите

8 sin (x)

с обеих сторон

1 + cot^{2} (x) - 8 sin (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

1 + cot^{2} (x) - 8 sin (x)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - 8 sin (x)

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x)

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x) = 0

Решитe подстановкой

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x) = 0

Допустим:

sin (x) = u

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

Умножьте обе части на

u^{2}

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

Умножьте обе части на

u^{2}

1 \cdot u^{2} + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} - 8 u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

После упрощения получаем

1 \cdot u^{2} + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} - 8 u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Упростите

1 \cdot u^{2} : u^{2}

1 \cdot u^{2}

Умножьте:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

Упростите

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} : 1 - u^{2}

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - u ^{2} ) u ^{2}}{u ^{2}}

Отмените общий множитель:

u^{2}

= 1 - u^{2}

Упростите

- 8 u u^{2} : - 8 u^{3}

- 8 u u^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - 8 u^{1 + 2}

Добавьте числа:

1 + 2 = 3

= - 8 u^{3}

Упростите

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Примените правило

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3} = 0

Упростить

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3} : - 8 u^{3} + 1

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3}

Сгруппируйте похожие слагаемые

= - 8 u^{3} + u^{2} - u^{2} + 1

Добавьте похожие элементы:

u^{2} - u^{2} = 0

= - 8 u^{3} + 1

- 8 u^{3} + 1 = 0

- 8 u^{3} + 1 = 0

- 8 u^{3} + 1 = 0

Решить

- 8 u^{3} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

- 8 u^{3} + 1 = 0

Переместите

1

вправо

- 8 u^{3} + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

- 8 u^{3} + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

- 8 u^{3} = - 1

- 8 u^{3} = - 1

Разделите обе стороны на

- 8

- 8 u^{3} = - 1

Разделите обе стороны на

- 8

\frac{- 8 u ^{3}}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}

После упрощения получаем

u^{3} = \frac{1}{8}

u^{3} = \frac{1}{8}

Для

x^{3} = f (a)

решения таковы

Применить радикальное правило:

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

Разложите число:

8 = 2^{3}

Примените правило радикалов:

= 2

Примените правило

= \frac{1}{2}

Упростить

Применить радикальное правило:

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

Разложите число:

8 = 2^{3}

Примените правило радикалов:

= 2

Примените правило

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 3 i}{2}

Умножьте дроби:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Умножьте:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Уберите скобки:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

= \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 3 i}{4}

Перепишите

\frac{- 1 + 3 i}{4}

в стандартной комплексной форме:

- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

\frac{- 1 + 3 i}{4}

Примените правило дробей:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

Упростить

Применить радикальное правило:

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

Разложите число:

8 = 2^{3}

Примените правило радикалов:

= 2

Примените правило

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 - 3 i}{2}

Умножьте дроби:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 - 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Умножьте:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Уберите скобки:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

= \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 3 i}{4}

Перепишите

\frac{- 1 - 3 i}{4}

в стандартной комплексной форме:

- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

\frac{- 1 - 3 i}{4}

Примените правило дробей:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4} = - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

u = 0

Возьмите знаменатель(и)

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u

и сравните с нулем

Решить

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Примените правило

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Следующие точки не определены

u = 0

Объедините неопределенные точки с решениями:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4} :

Не имеет решения

sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Не имеет решения

sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4} :

Не имеет решения

sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Не имеет решения

Объедините все решения

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры