English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

(1+cos(x))(1+cos(2x))= 1/4

الحلّ

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

الحلّ

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

درجات

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 7 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

من الطرفين

\frac{1}{4}

اطرح

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} = 0

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4}

بسّط:

\frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4}

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4}

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 4}{4}, cos (x) cos (2 x) = \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) 4}{4}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 + cos ( x ) \cdot 4 + cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4 + 3}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (x) cos (2 x) + 3 = 0

Rewrite using trig identities

3 + 4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (2 x) cos (x)

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

بسّط:

8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

وسٌع:

8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

بسّط:

8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

4 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

وسٌع:

8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 4 cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 cos (x) \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) \cdot 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

بسّط:

8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) = 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x)

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= 8 cos^{2} (x) cos (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 8 cos^{2 + 1} (x)

2 + 1 = 3 :

اجمع الأعداد

= 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x) = 4 cos (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

بسّط:

8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

جمّع التعابير المتشابهة

= 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) + 3 - 4

4 cos (x) - 4 cos (x) = 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) + 3 - 4

3 - 4 = - 1 :

اطرح/اجمع الأعداد

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

cos (x) = u :

على افتراض أنّ

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 = 0

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

حلّل إلى عوامل:

(2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

2 u + 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

- \frac{1}{2}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1, 2, 4, 8

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 8

= (2 u + 1) \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

اقسم:

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{8 u ^{3}}{2 u} = 4 u^{2} : 2 u + 1

والمقام

Quotient = 4 u^{2}

8 u^{3} + 4 u^{2} : 4 u^{2}

بـ

2 u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

من

8 u^{3} + 4 u^{2}

اطرح

باقي = 4 u^{2} - 1

لذلك

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

اقسم:

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

4 u^{2} - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u : 2 u + 1

والمقام

Quotient = 2 u

4 u^{2} + 2 u : 2 u

بـ

2 u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

4 u^{2} - 1

من

4 u^{2} + 2 u

اطرح

باقي = - 2 u - 1

لذلك

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

اقسم:

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

- 2 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- 2 u}{2 u} = - 1 : 2 u + 1

والمقام

Quotient = - 1

- 2 u - 1 : - 1

بـ

2 u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- 2 u - 1

من

- 2 u - 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

(2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

2 u + 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

2 u + 1 = 0

حلّ:

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

2 u = - 1

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

بسّط

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

حلّ:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 4, b = 2, c = - 1

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

- (- a) = a

فعّل القانون

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 :

اضرب الأعداد

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

4 + 16 = 20 :

اجمع الأعداد

= 20

20

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{2} \cdot 5

20

20 = 10 \cdot 2, 2

ينقسم على

20

= 2 \cdot 10

10 = 5 \cdot 2, 2

ينقسم على

10

= 2 \cdot 2 \cdot 5

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 5 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

- 2 + 25

حلل إلى عوامل:

2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 + 25

2

قم باخراج العامل المشترك

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

- 2 - 25

حلل إلى عوامل:

- 2 (1 + 5)

- 2 - 25

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 - 25

2

قم باخراج العامل المشترك

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{1 + 5}{4}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

The solutions are

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{1}{2} :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Apply trig inverse properties

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

وحّد الحلول

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

tan^4(x)-2sec^2(x)+3=0

tan^{4} (x) - 2 sec^{2} (x) + 3 = 0

tan(x)=-5/3

tan (x) = - \frac{5}{3}

3sin(θ)+4cos(θ)=3

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

cos(x)=(-5)/(13)

cos (x) = \frac{- 5}{13}

1=3cos(2θ)

1 = 3 cos (2 θ)