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人気のある三角関数 >

(1+cos(x))(1+cos(2x))= 1/4

解

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

解

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

+1

度

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 7 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

両辺から

\frac{1}{4}

を引く

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} = 0

簡素化

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} : \frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4}

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4}

元を分数に変換する:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 4}{4}, cos (x) cos (2 x) = \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) 4}{4}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 + cos ( x ) \cdot 4 + cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4 + 3}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (x) cos (2 x) + 3 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

3 + 4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (2 x) cos (x)

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

簡素化

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

拡張

4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

簡素化

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

拡張

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 cos (x) \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) \cdot 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

簡素化

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) = 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x)

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) cos (x)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 8 cos^{2 + 1} (x)

数を足す:

2 + 1 = 3

= 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x) = 4 cos (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

簡素化

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

条件のようなグループ

= 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) + 3 - 4

類似した元を足す:

4 cos (x) - 4 cos (x) = 0

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) + 3 - 4

数を足す/引く:

3 - 4 = - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

置換で解く

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

標準的な形式で書く

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 = 0

因数

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

有理根定理を使用する

a_{0} = 1, a_{n} = 8

a_{0} : 1

の除数,

a_{n} : 1, 2, 4, 8

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

- \frac{1}{2}

は式の累乗根なので

2 u + 1

をくくり出す

= (2 u + 1) \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

割る

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

分子

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

と除数

2 u + 1

の主係数で割る:

\frac{8 u ^{3}}{2 u} = 4 u^{2}

商 = 4 u^{2}

2 u + 1

に

4 u^{2}

を乗じる:

8 u^{3} + 4 u^{2}

8 u^{3} + 4 u^{2}

を

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 4 u^{2} - 1

このため

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

割る

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

分子

4 u^{2} - 1

と除数

2 u + 1

の主係数で割る:

\frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

商 = 2 u

2 u + 1

に

2 u

を乗じる:

4 u^{2} + 2 u

4 u^{2} + 2 u

を

4 u^{2} - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = - 2 u - 1

このため

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

割る

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

分子

- 2 u - 1

と除数

2 u + 1

の主係数で割る:

\frac{- 2 u}{2 u} = - 1

商 = - 1

2 u + 1

に

- 1

を乗じる:

- 2 u - 1

- 2 u - 1

を

- 2 u - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

(2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

2 u + 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

解く

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

2 u = - 1

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

簡素化

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

解く

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

解くとthe二次式

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

規則を適用

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

数を足す:

4 + 16 = 20

= 20

以下の素因数分解:

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20220 = 10 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 10

10210 = 5 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

因数

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

書き換え

= - 2 \cdot 1 + 25

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

共通因数を約分する:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

因数

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

書き換え

= - 2 \cdot 1 - 25

共通項をくくり出す

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

二次equationの解:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

解答は

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

以下の一般解

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

tan^4(x)-2sec^2(x)+3=0

tan^{4} (x) - 2 sec^{2} (x) + 3 = 0

tan (x) = - \frac{5}{3}

3sin(θ)+4cos(θ)=3

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

cos(x)=(-5)/(13)

cos (x) = \frac{- 5}{13}

1 = 3 cos (2 θ)