English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(1+cos(x))(1+cos(2x))= 1/4

Решение

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

Решение

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

Градусы

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 7 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

Вычтите

\frac{1}{4}

с обеих сторон

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} = 0

Упростить

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} : \frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4}

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4}

Преобразуйте элемент в дробь:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 4}{4}, cos (x) cos (2 x) = \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) 4}{4}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 + cos ( x ) \cdot 4 + cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4 + 3}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (x) cos (2 x) + 3 = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

3 + 4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (2 x) cos (x)

Используйте тождество двойного угла:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

Упростите

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Расширить

4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Упростить

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

Расширить

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 cos (x) \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) \cdot 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

Упростить

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) = 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x)

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) cos (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 8 cos^{2 + 1} (x)

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x) = 4 cos (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x)

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 = 4

= 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

Упростить

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) + 3 - 4

Добавьте похожие элементы:

4 cos (x) - 4 cos (x) = 0

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) + 3 - 4

Прибавьте/Вычтите числа:

3 - 4 = - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Решитe подстановкой

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 = 0

Найдите множитель

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 8

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1, 2, 4, 8

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

- \frac{1}{2}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

2 u + 1

= (2 u + 1) \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Поделите

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

и делителя

2 u + 1 : \frac{8 u ^{3}}{2 u} = 4 u^{2}

Частное = 4 u^{2}

Умножьте

2 u + 1

на

4 u^{2} : 8 u^{3} + 4 u^{2}

Вычтите

8 u^{3} + 4 u^{2}

из

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 4 u^{2} - 1

Поэтому

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Поделите

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

4 u^{2} - 1

и делителя

2 u + 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Частное = 2 u

Умножьте

2 u + 1

на

2 u : 4 u^{2} + 2 u

Вычтите

4 u^{2} + 2 u

из

4 u^{2} - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - 2 u - 1

Поэтому

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Поделите

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

- 2 u - 1

и делителя

2 u + 1 : \frac{- 2 u}{2 u} = - 1

Частное = - 1

Умножьте

2 u + 1

на

- 1 : - 2 u - 1

Вычтите

- 2 u - 1

из

- 2 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

(2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

2 u + 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Решить

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

2 u = - 1

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Решить

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Примените правило

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Добавьте числа:

4 + 16 = 20

= 20

Первичное разложение на множители

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

делится на

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

делится на

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Примените правило радикалов:

= 5 2^{2}

Примените правило радикалов:

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

коэффициент

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 + 25

Убрать общее значение

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

коэффициент

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 - 25

Убрать общее значение

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Решениями являются

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Общие решения для

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Общие решения для

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Общие решения для

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Объедините все решения

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры