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Popular Trigonometria >

2cot(x)+sec^2(x)=0

Solução

2 cot (x) + sec^{2} (x) = 0

Solução

x = \frac{3 π}{4} + πn

Graus

x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cot (x) + sec^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sec^{2} (x) + 2 cot (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= sec^{2} (x) + 2 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

2 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{2}{tan ( x )}

2 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{tan ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{tan ( x )}

= sec^{2} (x) + \frac{2}{tan ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) + 1

1 + \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 + \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) = 0

Sea:

tan (x) = u

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

1 \cdot u + \frac{2}{u} u + u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

1 \cdot u + \frac{2}{u} u + u^{2} u = 0 \cdot u

Simplificar

1 \cdot u : u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

Simplificar

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 2

Simplificar

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Somar:

2 + 1 = 3

= u^{3}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

u + 2 + u^{3} = 0

u + 2 + u^{3} = 0

u + 2 + u^{3} = 0

Resolver

u + 2 + u^{3} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u + 2 + u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + u + 2 = 0

Fatorar

u^{3} + u + 2 : (u + 1) (u^{2} - u + 2)

u^{3} + u + 2

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 2, a_{n} = 1

Os divisores de

a_{0} : 1, 2,

Os divisores de

a_{n} : 1

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1 , 2}{1}

- \frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1}

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} - u + 2

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1}

Dividir

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} : \frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u^{3} + u + 2

e o divisor

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quociente = u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Subtrair

u^{3} + u^{2}

u^{3} + u + 2

para obter um novo resto

Resto = - u^{2} + u + 2

Portanto

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

= u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

Dividir

\frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} : \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} = - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- u^{2} + u + 2

e o divisor

u + 1 : \frac{- u ^{2}}{u} = - u

Quociente = - u

Multiplicar

u + 1

por

- u : - u^{2} - u

Subtrair

- u^{2} - u

- u^{2} + u + 2

para obter um novo resto

Resto = 2 u + 2

Portanto

\frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} = - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

= u^{2} - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Dividir

\frac{2 u + 2}{u + 1} : \frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u + 2

e o divisor

u + 1 : \frac{2 u}{u} = 2

Quociente = 2

Multiplicar

u + 1

por

2 : 2 u + 2

Subtrair

2 u + 2

2 u + 2

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

= u^{2} - u + 2

= (u + 1) (u^{2} - u + 2)

(u + 1) (u^{2} - u + 2) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} - u + 2 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u^{2} - u + 2 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u^{2} - u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

Simplificar

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 7 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 - 8

Subtrair:

1 - 8 = - 7

= - 7

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 7 = - 1 7

= - 1 7

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 7 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7 i}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 7 i}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 7 i}{2}

Reescrever

\frac{1 + 7 i}{2}

na forma complexa padrão:

\frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

\frac{1 + 7 i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 7 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

u = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 - 7 i}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 7 i}{2}

Reescrever

\frac{1 - 7 i}{2}

na forma complexa padrão:

\frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

\frac{1 - 7 i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 7 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

As soluções são

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

1 + \frac{2}{u} + u^{2}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Substituir na equação

u = tan (x)

tan (x) = - 1, tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

tan (x) = - 1, tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

tan (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = - 1

Soluções gerais para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2} :

Sem solução

tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2} :

Sem solução

tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{3 π}{4} + πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)+sin(x/2)=0

sin (x) + sin (\frac{x}{2}) = 0

4sin^2(x)+2cos^2(x)=3

4 sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 3

cos^2(θ)-3sin(2θ)+sin^2(θ)+2sin^2(2θ)=0

cos^{2} (θ) - 3 sin (2 θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) = 0

5cos(x)-10sin(x)cos(x)=0

5 cos (x) - 10 sin (x) cos (x) = 0

sin(2x+4)=cos(46)

sin (2 x + 4) = cos (4 6^{\circ})