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Populaire Trigonométrie >

2cot(x)+sec^2(x)=0

Solution

2 cot (x) + sec^{2} (x) = 0

Solution

x = \frac{3 π}{4} + πn

Degrés

x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cot (x) + sec^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sec^{2} (x) + 2 cot (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= sec^{2} (x) + 2 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

2 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{2}{tan ( x )}

2 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{tan ( x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{tan ( x )}

= sec^{2} (x) + \frac{2}{tan ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) + 1

1 + \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 + \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) = 0

Soit :

tan (x) = u

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

Multiplier les deux côtés par

u

1 \cdot u + \frac{2}{u} u + u^{2} u = 0 \cdot u

Simplifier

1 \cdot u + \frac{2}{u} u + u^{2} u = 0 \cdot u

Simplifier

1 \cdot u : u

1 \cdot u

Multiplier:

1 \cdot u = u

= u

Simplifier

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 2

Simplifier

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= u^{3}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

u + 2 + u^{3} = 0

u + 2 + u^{3} = 0

u + 2 + u^{3} = 0

Résoudre

u + 2 + u^{3} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u + 2 + u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + u + 2 = 0

Factoriser

u^{3} + u + 2 : (u + 1) (u^{2} - u + 2)

u^{3} + u + 2

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 2, a_{n} = 1

Les diviseurs de

a_{0} : 1, 2,

Les diviseurs de

a_{n} : 1

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1 , 2}{1}

- \frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1}

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} - u + 2

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1}

Diviser

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} : \frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{3} + u + 2

et le diviseur

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multiplier

u + 1

par

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Soustraire

u^{3} + u^{2}

u^{3} + u + 2

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - u^{2} + u + 2

Par conséquent

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

= u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

Diviser

\frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} : \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} = - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

- u^{2} + u + 2

et le diviseur

u + 1 : \frac{- u ^{2}}{u} = - u

Quotient = - u

Multiplier

u + 1

par

- u : - u^{2} - u

Soustraire

- u^{2} - u

- u^{2} + u + 2

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u + 2

Par conséquent

\frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} = - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

= u^{2} - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Diviser

\frac{2 u + 2}{u + 1} : \frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

Diviser les coefficients directeurs

2 u + 2

et le diviseur

u + 1 : \frac{2 u}{u} = 2

Quotient = 2

Multiplier

u + 1

par

2 : 2 u + 2

Soustraire

2 u + 2

2 u + 2

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

= u^{2} - u + 2

= (u + 1) (u^{2} - u + 2)

(u + 1) (u^{2} - u + 2) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} - u + 2 = 0

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

u^{2} - u + 2 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u^{2} - u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} - u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

Simplifier

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 7 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 - 8

Soustraire les nombres :

1 - 8 = - 7

= - 7

Appliquer la règle des radicaux:

- a = - 1 a

- 7 = - 1 7

= - 1 7

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- 1 = i

= 7 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7 i}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 7 i}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 7 i}{2}

Récrire

\frac{1 + 7 i}{2}

sous la forme complexe standard :

\frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

\frac{1 + 7 i}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 7 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

u = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 7 i}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 7 i}{2}

Récrire

\frac{1 - 7 i}{2}

sous la forme complexe standard :

\frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

\frac{1 - 7 i}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 7 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Les solutions sont

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

1 + \frac{2}{u} + u^{2}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Remplacer

u = tan (x)

tan (x) = - 1, tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

tan (x) = - 1, tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

tan (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = - 1

Solutions générales pour

tan (x) = - 1

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2} :

Aucune solution

tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

Aucune solution

tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2} :

Aucune solution

tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{3 π}{4} + πn

Graphe

Exemples populaires

sin(x)+sin(x/2)=0

sin (x) + sin (\frac{x}{2}) = 0

4sin^2(x)+2cos^2(x)=3

4 sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 3

cos^2(θ)-3sin(2θ)+sin^2(θ)+2sin^2(2θ)=0

cos^{2} (θ) - 3 sin (2 θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) = 0

5cos(x)-10sin(x)cos(x)=0

5 cos (x) - 10 sin (x) cos (x) = 0

sin(2x+4)=cos(46)

sin (2 x + 4) = cos (4 6^{\circ})