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人気のある三角関数 >

3sin(x)+4cos(x)=5

解

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

解

x = 0.64350 \dots + 2 πn

+1

度

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

両辺から

4 cos (x)

を引く

3 sin (x) = 5 - 4 cos (x)

両辺を2乗する

(3 sin (x))^{2} = (5 - 4 cos (x))^{2}

両辺から

(5 - 4 cos (x))^{2}

を引く

9 sin^{2} (x) - 25 + 40 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

拡張

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

数を乗じる:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 25 + 9

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 25 + 9

数を足す/引く:

- 25 + 9 = - 16

= 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

= 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

= 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

置換で解く

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 16 - 25 u^{2} + 40 u = 0

- 16 - 25 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{4}{5}

- 16 - 25 u^{2} + 40 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 40 u - 16 = 0

解くとthe二次式

- 25 u^{2} + 40 u - 16 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 25, b = 40, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

4 0^{2} - 4 (- 25) (- 16) = 0

4 0^{2} - 4 (- 25) (- 16)

規則を適用

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16

数を乗じる:

4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600

= 4 0^{2} - 1600

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1600

数を引く:

1600 - 1600 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 40}{2 ( - 25 )}

\frac{- 40}{2 ( - 25 )} = \frac{4}{5}

\frac{- 40}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 40}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 40}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{40}{50}

共通因数を約分する:

10

= \frac{4}{5}

u = \frac{4}{5}

二次equationの解:

u = \frac{4}{5}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = \frac{4}{5} : x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{4}{5}

以下の一般解

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

の挿入向け

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + 4 cos (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

改良

5 = 5

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + 4 cos (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

改良

1.4 = 5

\Rightarrow 偽

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 0.64350 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sinh^2(x)-5cosh(x)=-7

sinh^{2} (x) - 5 cosh (x) = - 7

(1-cos(x))(2-sin(x))=0

(1 - cos (x)) (2 - sin (x)) = 0

cos^2(x)=((8k-9))/2

cos^{2} (x) = \frac{( 8 k - 9 )}{2}

5sin(2x)=9tan(x)

5 sin (2 x) = 9 tan (x)

-2sin^2(3x)=cos(3x)-2

- 2 sin^{2} (3 x) = cos (3 x) - 2