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Populaire Trigonométrie >

sinh^2(x)-5cosh(x)=-7

Solution

sinh^{2} (x) - 5 cosh (x) = - 7

Solution

x = ln (0.17157 \dots), x = ln (0.26794 \dots), x = ln (3.73205 \dots), x = ln (5.82842 \dots)

Degrés

x = - 100.99797 \dots^{\circ}, x = - 75.45612 \dots^{\circ}, x = 75.45612 \dots^{\circ}, x = 100.99797 \dots^{\circ}

étapes des solutions

sinh^{2} (x) - 5 cosh (x) = - 7

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sinh^{2} (x) - 5 cosh (x) = - 7

Use the Hyperbolic identity:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 5 cosh (x) = - 7

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 7

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 7

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 7 : x = ln (0.17157 \dots), x = ln (0.26794 \dots), x = ln (3.73205 \dots), x = ln (5.82842 \dots)

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 7

Appliquer les règles des exposants

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 7

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = - 7

(\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = - 7

Récrire l'équation avec

e^{x} = u

(\frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} = - 7

Résoudre

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} = - 7 : u \approx 0.17157 \dots, u \approx 0.26794 \dots, u \approx 3.73205 \dots, u \approx 5.82842 \dots

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} = - 7

Redéfinir

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} = - 7

Multiplier par le PPCM

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} = - 7

Trouver le plus petit commun multiple de

4 u^{2}, 2 u : 4 u^{2}

4 u^{2}, 2 u

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

4, 2 : 4

4, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

4 u^{2}

ou dans

2 u

= 4 u^{2}

Multipier par PPCM =

4 u^{2}

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} \cdot 4 u^{2} - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 4 u^{2} = - 7 \cdot 4 u^{2}

Simplifier

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} \cdot 4 u^{2} - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 4 u^{2} = - 7 \cdot 4 u^{2}

Simplifier

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} \cdot 4 u^{2} : (u^{2} - 1)^{2}

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} \cdot 4 u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2} \cdot 4 u ^{2}}{4 u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2} u ^{2}}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u^{2}

= (u^{2} - 1)^{2}

Simplifier

- \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 4 u^{2} : - 10 u (u^{2} + 1)

- \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 4 u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{5 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 4 u ^{2}}{2 u}

Multiplier les nombres :

5 \cdot 4 = 20

= - \frac{20 u ^{2} ( u ^{2} + 1 )}{2 u}

Diviser les nombres :

\frac{20}{2} = 10

= \frac{10 u ^{2} ( u ^{2} + 1 )}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 10 u (u^{2} + 1)

Simplifier

- 7 \cdot 4 u^{2} : - 28 u^{2}

- 7 \cdot 4 u^{2}

Multiplier les nombres :

7 \cdot 4 = 28

= - 28 u^{2}

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1) = - 28 u^{2}

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1) = - 28 u^{2}

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1) = - 28 u^{2}

Résoudre

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1) = - 28 u^{2} : u \approx 0.17157 \dots, u \approx 0.26794 \dots, u \approx 3.73205 \dots, u \approx 5.82842 \dots

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1) = - 28 u^{2}

Développer

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1) : u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 10 u^{3} - 10 u

(u^{2} - 1)^{2} - 10 u (u^{2} + 1)

(u^{2} - 1)^{2} : u^{4} - 2 u^{2} + 1

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = u^{2}, b = 1

= (u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Simplifier

(u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2} : u^{4} - 2 u^{2} + 1

(u^{2})^{2} - 2 u^{2} \cdot 1 + 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (u^{2})^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u^{2} + 1

(u^{2})^{2} = u^{4}

(u^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} \cdot 1 = 2 u^{2}

2 u^{2} \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2}

= u^{4} - 2 u^{2} + 1

= u^{4} - 2 u^{2} + 1

= u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 10 u (u^{2} + 1)

Développer

- 10 u (u^{2} + 1) : - 10 u^{3} - 10 u

- 10 u (u^{2} + 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = - 10 u, b = u^{2}, c = 1

= - 10 u u^{2} + (- 10 u) \cdot 1

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - 10 u^{2} u - 10 \cdot 1 \cdot u

Simplifier

- 10 u^{2} u - 10 \cdot 1 \cdot u : - 10 u^{3} - 10 u

- 10 u^{2} u - 10 \cdot 1 \cdot u

10 u^{2} u = 10 u^{3}

10 u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 10 u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 10 u^{3}

10 \cdot 1 \cdot u = 10 u

10 \cdot 1 \cdot u

Multiplier les nombres :

10 \cdot 1 = 10

= 10 u

= - 10 u^{3} - 10 u

= - 10 u^{3} - 10 u

= u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 10 u^{3} - 10 u

u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 10 u^{3} - 10 u = - 28 u^{2}

Déplacer

28 u^{2}

vers la gauche

u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 10 u^{3} - 10 u = - 28 u^{2}

Ajouter

28 u^{2}

aux deux côtés

u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 10 u^{3} - 10 u + 28 u^{2} = - 28 u^{2} + 28 u^{2}

Simplifier

u^{4} - 10 u^{3} + 26 u^{2} - 10 u + 1 = 0

u^{4} - 10 u^{3} + 26 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Trouver une solution pour

u^{4} - 10 u^{3} + 26 u^{2} - 10 u + 1 = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

u \approx 0.17157 \dots

u^{4} - 10 u^{3} + 26 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (u) = u^{4} - 10 u^{3} + 26 u^{2} - 10 u + 1

Trouver

f^{^{'}} (u) : 4 u^{3} - 30 u^{2} + 52 u - 10

\frac{d}{d u} (u^{4} - 10 u^{3} + 26 u^{2} - 10 u + 1)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{4}) - \frac{d}{d u} (10 u^{3}) + \frac{d}{d u} (26 u^{2}) - \frac{d}{d u} (10 u) + \frac{d}{d u} (1)

\frac{d}{d u} (u^{4}) = 4 u^{3}

\frac{d}{d u} (u^{4})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 4 u^{4 - 1}

Simplifier

= 4 u^{3}

\frac{d}{d u} (10 u^{3}) = 30 u^{2}

\frac{d}{d u} (10 u^{3})

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 10 \frac{d}{d u} (u^{3})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 10 \cdot 3 u^{3 - 1}

Simplifier

= 30 u^{2}

\frac{d}{d u} (26 u^{2}) = 52 u

\frac{d}{d u} (26 u^{2})

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 26 \frac{d}{d u} (u^{2})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 26 \cdot 2 u^{2 - 1}

Simplifier

= 52 u

\frac{d}{d u} (10 u) = 10

\frac{d}{d u} (10 u)

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 10 \frac{d u}{d u}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d u}{d u} = 1

= 10 \cdot 1

Simplifier

= 10

\frac{d}{d u} (1) = 0

\frac{d}{d u} (1)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 4 u^{3} - 30 u^{2} + 52 u - 10 + 0

Simplifier

= 4 u^{3} - 30 u^{2} + 52 u - 10

Soit

u_{0} = 0

Calculer

u_{n + 1}

jusqu'à

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = 0.1 : Δ u_{1} = 0.1

f (u_{0}) = 0^{4} - 10 \cdot 0^{3} + 26 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 1 = 1

f^{^{'}} (u_{0}) = 4 \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0^{2} + 52 \cdot 0 - 10 = - 10

u_{1} = 0.1

Δ u_{1} = ∣ 0.1 - 0 ∣ = 0.1

Δ u_{1} = 0.1

u_{2} = 0.14907 \dots : Δ u_{2} = 0.04907 \dots

f (u_{1}) = 0. 1^{4} - 10 \cdot 0. 1^{3} + 26 \cdot 0. 1^{2} - 10 \cdot 0.1 + 1 = 0.2501

f^{^{'}} (u_{1}) = 4 \cdot 0. 1^{3} - 30 \cdot 0. 1^{2} + 52 \cdot 0.1 - 10 = - 5.096

u_{2} = 0.14907 \dots

Δ u_{2} = ∣ 0.14907 \dots - 0.1 ∣ = 0.04907 \dots

Δ u_{2} = 0.04907 \dots

u_{3} = 0.16783 \dots : Δ u_{3} = 0.01875 \dots

f (u_{2}) = 0.14907 \dots^{4} - 10 \cdot 0.14907 \dots^{3} + 26 \cdot 0.14907 \dots^{2} - 10 \cdot 0.14907 \dots + 1 = 0.05441 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 4 \cdot 0.14907 \dots^{3} - 30 \cdot 0.14907 \dots^{2} + 52 \cdot 0.14907 \dots - 10 = - 2.90143 \dots

u_{3} = 0.16783 \dots

Δ u_{3} = ∣ 0.16783 \dots - 0.14907 \dots ∣ = 0.01875 \dots

Δ u_{3} = 0.01875 \dots

u_{4} = 0.17143 \dots : Δ u_{4} = 0.00360 \dots

f (u_{3}) = 0.16783 \dots^{4} - 10 \cdot 0.16783 \dots^{3} + 26 \cdot 0.16783 \dots^{2} - 10 \cdot 0.16783 \dots + 1 = 0.00755 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 4 \cdot 0.16783 \dots^{3} - 30 \cdot 0.16783 \dots^{2} + 52 \cdot 0.16783 \dots - 10 = - 2.09886 \dots

u_{4} = 0.17143 \dots

Δ u_{4} = ∣ 0.17143 \dots - 0.16783 \dots ∣ = 0.00360 \dots

Δ u_{4} = 0.00360 \dots

u_{5} = 0.17157 \dots : Δ u_{5} = 0.00014 \dots

f (u_{4}) = 0.17143 \dots^{4} - 10 \cdot 0.17143 \dots^{3} + 26 \cdot 0.17143 \dots^{2} - 10 \cdot 0.17143 \dots + 1 = 0.00027 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 4 \cdot 0.17143 \dots^{3} - 30 \cdot 0.17143 \dots^{2} + 52 \cdot 0.17143 \dots - 10 = - 1.94704 \dots

u_{5} = 0.17157 \dots

Δ u_{5} = ∣ 0.17157 \dots - 0.17143 \dots ∣ = 0.00014 \dots

Δ u_{5} = 0.00014 \dots

u_{6} = 0.17157 \dots : Δ u_{6} = 2.13816 E - 7

f (u_{5}) = 0.17157 \dots^{4} - 10 \cdot 0.17157 \dots^{3} + 26 \cdot 0.17157 \dots^{2} - 10 \cdot 0.17157 \dots + 1 = 4.15046 E - 7

f^{^{'}} (u_{5}) = 4 \cdot 0.17157 \dots^{3} - 30 \cdot 0.17157 \dots^{2} + 52 \cdot 0.17157 \dots - 10 = - 1.94113 \dots

u_{6} = 0.17157 \dots

Δ u_{6} = ∣ 0.17157 \dots - 0.17157 \dots ∣ = 2.13816 E - 7

Δ u_{6} = 2.13816 E - 7

u \approx 0.17157 \dots

Appliquer une division longue:

\frac{u ^{4} - 10 u ^{3} + 26 u ^{2} - 10 u + 1}{u - 0.17157 \dots} = u^{3} - 9.82842 \dots u^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots

u^{3} - 9.82842 \dots u^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots \approx 0

Trouver une solution pour

u^{3} - 9.82842 \dots u^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

u \approx 0.26794 \dots

u^{3} - 9.82842 \dots u^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (u) = u^{3} - 9.82842 \dots u^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots

Trouver

f^{^{'}} (u) : 3 u^{2} - 19.65685 \dots u + 24.31370 \dots

\frac{d}{d u} (u^{3} - 9.82842 \dots u^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{3}) - \frac{d}{d u} (9.82842 \dots u^{2}) + \frac{d}{d u} (24.31370 \dots u) - \frac{d}{d u} (5.82842 \dots)

\frac{d}{d u} (u^{3}) = 3 u^{2}

\frac{d}{d u} (u^{3})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 3 u^{3 - 1}

Simplifier

= 3 u^{2}

\frac{d}{d u} (9.82842 \dots u^{2}) = 19.65685 \dots u

\frac{d}{d u} (9.82842 \dots u^{2})

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 9.82842 \dots \frac{d}{d u} (u^{2})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 9.82842 \dots \cdot 2 u^{2 - 1}

Simplifier

= 19.65685 \dots u

\frac{d}{d u} (24.31370 \dots u) = 24.31370 \dots

\frac{d}{d u} (24.31370 \dots u)

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 24.31370 \dots \frac{d u}{d u}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d u}{d u} = 1

= 24.31370 \dots \cdot 1

Simplifier

= 24.31370 \dots

\frac{d}{d u} (5.82842 \dots) = 0

\frac{d}{d u} (5.82842 \dots)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 3 u^{2} - 19.65685 \dots u + 24.31370 \dots - 0

Simplifier

= 3 u^{2} - 19.65685 \dots u + 24.31370 \dots

Soit

u_{0} = 0

Calculer

u_{n + 1}

jusqu'à

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = 0.23971 \dots : Δ u_{1} = 0.23971 \dots

f (u_{0}) = 0^{3} - 9.82842 \dots \cdot 0^{2} + 24.31370 \dots \cdot 0 - 5.82842 \dots = - 5.82842 \dots

f^{^{'}} (u_{0}) = 3 \cdot 0^{2} - 19.65685 \dots \cdot 0 + 24.31370 \dots = 24.31370 \dots

u_{1} = 0.23971 \dots

Δ u_{1} = ∣ 0.23971 \dots - 0 ∣ = 0.23971 \dots

Δ u_{1} = 0.23971 \dots

u_{2} = 0.26758 \dots : Δ u_{2} = 0.02786 \dots

f (u_{1}) = 0.23971 \dots^{3} - 9.82842 \dots \cdot 0.23971 \dots^{2} + 24.31370 \dots \cdot 0.23971 \dots - 5.82842 \dots = - 0.55101 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 3 \cdot 0.23971 \dots^{2} - 19.65685 \dots \cdot 0.23971 \dots + 24.31370 \dots = 19.77400 \dots

u_{2} = 0.26758 \dots

Δ u_{2} = ∣ 0.26758 \dots - 0.23971 \dots ∣ = 0.02786 \dots

Δ u_{2} = 0.02786 \dots

u_{3} = 0.26794 \dots : Δ u_{3} = 0.00036 \dots

f (u_{2}) = 0.26758 \dots^{3} - 9.82842 \dots \cdot 0.26758 \dots^{2} + 24.31370 \dots \cdot 0.26758 \dots - 5.82842 \dots = - 0.00705 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 3 \cdot 0.26758 \dots^{2} - 19.65685 \dots \cdot 0.26758 \dots + 24.31370 \dots = 19.26866 \dots

u_{3} = 0.26794 \dots

Δ u_{3} = ∣ 0.26794 \dots - 0.26758 \dots ∣ = 0.00036 \dots

Δ u_{3} = 0.00036 \dots

u_{4} = 0.26794 \dots : Δ u_{4} = 6.27517 E - 8

f (u_{3}) = 0.26794 \dots^{3} - 9.82842 \dots \cdot 0.26794 \dots^{2} + 24.31370 \dots \cdot 0.26794 \dots - 5.82842 \dots = - 1.20873 E - 6

f^{^{'}} (u_{3}) = 3 \cdot 0.26794 \dots^{2} - 19.65685 \dots \cdot 0.26794 \dots + 24.31370 \dots = 19.26206 \dots

u_{4} = 0.26794 \dots

Δ u_{4} = ∣ 0.26794 \dots - 0.26794 \dots ∣ = 6.27517 E - 8

Δ u_{4} = 6.27517 E - 8

u \approx 0.26794 \dots

Appliquer une division longue:

\frac{u ^{3} - 9.82842 \dots u ^{2} + 24.31370 \dots u - 5.82842 \dots}{u - 0.26794 \dots} = u^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots

u^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots \approx 0

Trouver une solution pour

u^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

u \approx 3.73205 \dots

u^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (u) = u^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots

Trouver

f^{^{'}} (u) : 2 u - 9.56047 \dots

\frac{d}{d u} (u^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{2}) - \frac{d}{d u} (9.56047 \dots u) + \frac{d}{d u} (21.75198 \dots)

\frac{d}{d u} (u^{2}) = 2 u

\frac{d}{d u} (u^{2})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 u^{2 - 1}

Simplifier

= 2 u

\frac{d}{d u} (9.56047 \dots u) = 9.56047 \dots

\frac{d}{d u} (9.56047 \dots u)

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 9.56047 \dots \frac{d u}{d u}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d u}{d u} = 1

= 9.56047 \dots \cdot 1

Simplifier

= 9.56047 \dots

\frac{d}{d u} (21.75198 \dots) = 0

\frac{d}{d u} (21.75198 \dots)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 2 u - 9.56047 \dots + 0

Simplifier

= 2 u - 9.56047 \dots

Soit

u_{0} = 2

Calculer

u_{n + 1}

jusqu'à

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = 3.19252 \dots : Δ u_{1} = 1.19252 \dots

f (u_{0}) = 2^{2} - 9.56047 \dots \cdot 2 + 21.75198 \dots = 6.63103 \dots

f^{^{'}} (u_{0}) = 2 \cdot 2 - 9.56047 \dots = - 5.56047 \dots

u_{1} = 3.19252 \dots

Δ u_{1} = ∣ 3.19252 \dots - 2 ∣ = 1.19252 \dots

Δ u_{1} = 1.19252 \dots

u_{2} = 3.64038 \dots : Δ u_{2} = 0.44785 \dots

f (u_{1}) = 3.19252 \dots^{2} - 9.56047 \dots \cdot 3.19252 \dots + 21.75198 \dots = 1.42212 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 2 \cdot 3.19252 \dots - 9.56047 \dots = - 3.17542 \dots

u_{2} = 3.64038 \dots

Δ u_{2} = ∣ 3.64038 \dots - 3.19252 \dots ∣ = 0.44785 \dots

Δ u_{2} = 0.44785 \dots

u_{3} = 3.72836 \dots : Δ u_{3} = 0.08798 \dots

f (u_{2}) = 3.64038 \dots^{2} - 9.56047 \dots \cdot 3.64038 \dots + 21.75198 \dots = 0.20057 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 2 \cdot 3.64038 \dots - 9.56047 \dots = - 2.27971 \dots

u_{3} = 3.72836 \dots

Δ u_{3} = ∣ 3.72836 \dots - 3.64038 \dots ∣ = 0.08798 \dots

Δ u_{3} = 0.08798 \dots

u_{4} = 3.73204 \dots : Δ u_{4} = 0.00367 \dots

f (u_{3}) = 3.72836 \dots^{2} - 9.56047 \dots \cdot 3.72836 \dots + 21.75198 \dots = 0.00774 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 2 \cdot 3.72836 \dots - 9.56047 \dots = - 2.10374 \dots

u_{4} = 3.73204 \dots

Δ u_{4} = ∣ 3.73204 \dots - 3.72836 \dots ∣ = 0.00367 \dots

Δ u_{4} = 0.00367 \dots

u_{5} = 3.73205 \dots : Δ u_{5} = 6.45822 E - 6

f (u_{4}) = 3.73204 \dots^{2} - 9.56047 \dots \cdot 3.73204 \dots + 21.75198 \dots = 0.00001 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 2 \cdot 3.73204 \dots - 9.56047 \dots = - 2.09638 \dots

u_{5} = 3.73205 \dots

Δ u_{5} = ∣ 3.73205 \dots - 3.73204 \dots ∣ = 6.45822 E - 6

Δ u_{5} = 6.45822 E - 6

u_{6} = 3.73205 \dots : Δ u_{6} = 1.98957 E - 11

f (u_{5}) = 3.73205 \dots^{2} - 9.56047 \dots \cdot 3.73205 \dots + 21.75198 \dots = 4.17089 E - 11

f^{^{'}} (u_{5}) = 2 \cdot 3.73205 \dots - 9.56047 \dots = - 2.09637 \dots

u_{6} = 3.73205 \dots

Δ u_{6} = ∣ 3.73205 \dots - 3.73205 \dots ∣ = 1.98957 E - 11

Δ u_{6} = 1.98957 E - 11

u \approx 3.73205 \dots

Appliquer une division longue:

\frac{u ^{2} - 9.56047 \dots u + 21.75198 \dots}{u - 3.73205 \dots} = u - 5.82842 \dots

u - 5.82842 \dots \approx 0

u \approx 5.82842 \dots

Les solutions sont

u \approx 0.17157 \dots, u \approx 0.26794 \dots, u \approx 3.73205 \dots, u \approx 5.82842 \dots

u \approx 0.17157 \dots, u \approx 0.26794 \dots, u \approx 3.73205 \dots, u \approx 5.82842 \dots

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} - 5 \frac{u + u ^{- 1}}{2}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u \approx 0.17157 \dots, u \approx 0.26794 \dots, u \approx 3.73205 \dots, u \approx 5.82842 \dots

u \approx 0.17157 \dots, u \approx 0.26794 \dots, u \approx 3.73205 \dots, u \approx 5.82842 \dots

Resubstituer

u = e^{x},

résoudre pour

x

Résoudre

e^{x} = 0.17157 \dots : x = ln (0.17157 \dots)

e^{x} = 0.17157 \dots

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 0.17157 \dots

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (0.17157 \dots)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (0.17157 \dots)

x = ln (0.17157 \dots)

Résoudre

e^{x} = 0.26794 \dots : x = ln (0.26794 \dots)

e^{x} = 0.26794 \dots

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 0.26794 \dots

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (0.26794 \dots)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (0.26794 \dots)

x = ln (0.26794 \dots)

Résoudre

e^{x} = 3.73205 \dots : x = ln (3.73205 \dots)

e^{x} = 3.73205 \dots

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 3.73205 \dots

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (3.73205 \dots)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (3.73205 \dots)

x = ln (3.73205 \dots)

Résoudre

e^{x} = 5.82842 \dots : x = ln (5.82842 \dots)

e^{x} = 5.82842 \dots

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 5.82842 \dots

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (5.82842 \dots)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (5.82842 \dots)

x = ln (5.82842 \dots)

x = ln (0.17157 \dots), x = ln (0.26794 \dots), x = ln (3.73205 \dots), x = ln (5.82842 \dots)

x = ln (0.17157 \dots), x = ln (0.26794 \dots), x = ln (3.73205 \dots), x = ln (5.82842 \dots)

Graphe

Exemples populaires

(1-cos(x))(2-sin(x))=0

(1 - cos (x)) (2 - sin (x)) = 0

cos^2(x)=((8k-9))/2

cos^{2} (x) = \frac{( 8 k - 9 )}{2}

5sin(2x)=9tan(x)

5 sin (2 x) = 9 tan (x)

-2sin^2(3x)=cos(3x)-2

- 2 sin^{2} (3 x) = cos (3 x) - 2

2cos(x)=cot(x)

2 cos (x) = cot (x)