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Beliebt Trigonometrie >

(cos(x)(1+tan(x)))/(cos(x)(1-tan(x)))>0

Lösung

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

Lösung

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Intervall-Notation

[πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Dezimale

πn \leq x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x \leq 3.14159 \dots + πn

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

Periodizität von

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} : π

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )}

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

cos (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= π

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ( x ) ( 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{cos ( x ) ( 1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )} > 0

\frac{cos ( x ) ( 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{cos ( x ) ( 1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )} > 0

Vereinfache

\frac{cos ( x ) ( 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{cos ( x ) ( 1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )} : \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{cos ( x ) ( 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{cos ( x ) ( 1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Füge

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Füge

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} > 0

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

für

0 \leq x < π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} = 0

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{3 π}{4}

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) + sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + tan (x) = 0

1 + tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{4}

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) + sin (x) cos (x) - sin (x) \frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x ) - s i n ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{4} + + + x = \frac{π}{4} + 0 Unbestimmt \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4} + - - x = \frac{3 π}{4} 0 - 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + x = π - - +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

x = 0

oder

0 < x < \frac{π}{4}

0 \leq x < \frac{π}{4}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

0 \leq x < \frac{π}{4}

oder

\frac{3 π}{4} < x < π

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π

oder

x = π

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

0 \leq x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

Verwende die Periodizität von

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )}

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Beliebte Beispiele

sin((pix)/2)> 1/2

sin (\frac{π x}{2}) > \frac{1}{2}

sin(x)> 1/(sin(x))

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

\leq - 1 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \leq 3

2sin(x)cos(x)>= (sqrt(3))/2

2 sin (x) cos (x) \geq \frac{3}{2}

(sin(2θ))/2 <= 0.451

\frac{sin ( 2 θ )}{2} \leq 0.451