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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

Lösung

sin (x) - 3 cos (x) < 1

Lösung

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(- \frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn)

Dezimale

- 2.61799 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

sin (x) - 3 cos (x) < 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Teile beide Seiten durch

2

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Multipliziere aus

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2} : \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x)

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2} = \frac{sin ( x )}{2} - \frac{3 cos ( x )}{2}

= \frac{sin ( x )}{2} - \frac{3 cos ( x )}{2}

= \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x)

\frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) < \frac{1}{2}

\frac{3}{2} = sin (\frac{π}{3})

\frac{1}{2} sin (x) - sin (\frac{π}{3}) cos (x) < \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{3})

cos (\frac{π}{3}) sin (x) - sin (\frac{π}{3}) cos (x) < \frac{1}{2}

Verwende die folgenden Identitäten:

- cos (s) sin (t) + cos (t) sin (s) = sin (s - t)

sin (x - \frac{π}{3}) < \frac{1}{2}

sin (x - \frac{π}{3}) < \frac{1}{2}

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < (x - \frac{π}{3}) < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x - \frac{π}{3} and x - \frac{π}{3} < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x - \frac{π}{3} : x > - \frac{5 π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x - \frac{π}{3}

Tausche die Seiten

x - \frac{π}{3} > - π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : - π - \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6} + 2 πn

x - \frac{π}{3} > - π - \frac{π}{6} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{3}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{3} > - π - \frac{π}{6} + 2 πn

Füge

\frac{π}{3}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} > - π - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} > - π - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} : x

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{3} + \frac{π}{3} > 0

= x

Vereinfache

- π - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3} : - π + 2 πn + \frac{π}{6}

- π - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - π + 2 πn - \frac{π}{6} + \frac{π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 3 : 6

6, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{3} = \frac{π 2}{3 \cdot 2} = \frac{π 2}{6}

= - \frac{π}{6} + \frac{π 2}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + π 2}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 2 π = π

= - π + 2 πn + \frac{π}{6}

x > - π + 2 πn + \frac{π}{6}

x > - π + 2 πn + \frac{π}{6}

x > - π + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

- π + \frac{π}{6} : - \frac{5 π}{6}

- π + \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

x > - \frac{5 π}{6} + 2 πn

x - \frac{π}{3} < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x < 2 πn + \frac{π}{2}

x - \frac{π}{3} < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

x - \frac{π}{3} < \frac{π}{6} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{3}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{3} < \frac{π}{6} + 2 πn

Füge

\frac{π}{3}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} < \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} < \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} : x

x - \frac{π}{3} + \frac{π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{3} + \frac{π}{3} < 0

= x

Vereinfache

\frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3} : 2 πn + \frac{π}{2}

\frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{6} + \frac{π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 3 : 6

6, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{3} = \frac{π 2}{3 \cdot 2} = \frac{π 2}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{π 2}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + π 2}{6}

Addiere gleiche Elemente:

π + 2 π = 3 π

= \frac{3 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= 2 πn + \frac{π}{2}

x < 2 πn + \frac{π}{2}

x < 2 πn + \frac{π}{2}

x < 2 πn + \frac{π}{2}

Kombiniere die Bereiche

x > - \frac{5 π}{6} + 2 πn and x < 2 πn + \frac{π}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

(cos(x)(1+tan(x)))/(cos(x)(1-tan(x)))>0

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

sin((pix)/2)> 1/2

sin (\frac{π x}{2}) > \frac{1}{2}

sin(x)> 1/(sin(x))

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

\leq - 1 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \leq 3

2sin(x)cos(x)>= (sqrt(3))/2

2 sin (x) cos (x) \geq \frac{3}{2}