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Beliebt Trigonometrie >

1-1/(cos(x))< 1/2*10^{-2}

Lösung

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Lösung

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn)

Dezimale

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Rewrite in standard form

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Subtrahiere

\frac{1}{2} 1 0^{- 2}

von beiden Seiten

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Vereinfache

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Vereinfache

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} : 1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} = \frac{1}{200}

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 0 ^{2}}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 0 ^{2}}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{1 0 ^{2} \cdot 2}

2 \cdot 1 0^{2} = 200

2 \cdot 1 0^{2}

1 0^{2} = 100

= 2 \cdot 100

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 100 = 200

= 200

= \frac{1}{200}

= 1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200} < 0

Vereinfache

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200} : \frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{1} - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, cos (x), 200 : 200 cos (x)

1, cos (x), 200

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, 200 : 200

1, 200

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

1

Primfaktorzerlegung von

200 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

200

200

ist durch

2200 = 100 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 100

100

ist durch

2100 = 50 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 50

50

ist durch

250 = 25 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

1

oder

200

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 200

= 200

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= 200 cos (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

200 cos (x)

Für

\frac{1}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

200 cos (x)

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 200 cos ( x )}{1 \cdot 200 cos ( x )} = \frac{200 cos ( x )}{200 cos ( x )}

Für

\frac{1}{cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

200

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot 200}{cos ( x ) \cdot 200} = \frac{200}{200 cos ( x )}

Für

\frac{1}{200} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{1}{200} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{200 cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{200 cos ( x )}

= \frac{200 cos ( x )}{200 cos ( x )} - \frac{200}{200 cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{200 cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{200 cos ( x ) - 200 - cos ( x )}{200 cos ( x )}

200 cos (x) - 200 - cos (x) = 199 cos (x) - 200

200 cos (x) - 200 - cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 200 cos (x) - cos (x) - 200

Addiere gleiche Elemente:

200 cos (x) - cos (x) = 199 cos (x)

= 199 cos (x) - 200

= \frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )}

\frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )} < 0

Multipliziere beide Seiten mit

200

\frac{200 ( 199 cos ( x ) - 200 )}{200 cos ( x )} < 0 \cdot 200

Vereinfache

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )} < 0

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )} < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

199 cos (x) - 200

199 cos (x) - 200 = 0 : cos (x) = \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 = 0

Verschiebe

200

auf die rechte Seite

199 cos (x) - 200 = 0

Füge

200

zu beiden Seiten hinzu

199 cos (x) - 200 + 200 = 0 + 200

Vereinfache

199 cos (x) = 200

199 cos (x) = 200

Teile beide Seiten durch

199

199 cos (x) = 200

Teile beide Seiten durch

199

\frac{199 cos ( x )}{199} = \frac{200}{199}

Vereinfache

cos (x) = \frac{200}{199}

cos (x) = \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 < 0 : cos (x) < \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 < 0

Verschiebe

200

auf die rechte Seite

199 cos (x) - 200 < 0

Füge

200

zu beiden Seiten hinzu

199 cos (x) - 200 + 200 < 0 + 200

Vereinfache

199 cos (x) < 200

199 cos (x) < 200

Teile beide Seiten durch

199

199 cos (x) < 200

Teile beide Seiten durch

199

\frac{199 cos ( x )}{199} < \frac{200}{199}

Vereinfache

cos (x) < \frac{200}{199}

cos (x) < \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 > 0 : cos (x) > \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 > 0

Verschiebe

200

auf die rechte Seite

199 cos (x) - 200 > 0

Füge

200

zu beiden Seiten hinzu

199 cos (x) - 200 + 200 > 0 + 200

Vereinfache

199 cos (x) > 200

199 cos (x) > 200

Teile beide Seiten durch

199

199 cos (x) > 200

Teile beide Seiten durch

199

\frac{199 cos ( x )}{199} > \frac{200}{199}

Vereinfache

cos (x) > \frac{200}{199}

cos (x) > \frac{200}{199}

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

199 cos (x) - 200 cos (x) \frac{199 c o s ( x ) - 200}{c o s ( x )} cos (x) < 0 - - + cos (x) = 0 - 0 Unbestimmt 0 < cos (x) < \frac{200}{199} - + - cos (x) = \frac{200}{199} 0 + 0 cos (x) > \frac{200}{199} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

0 < cos (x) < \frac{200}{199}

0 < cos (x) < \frac{200}{199}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

0 < cos (x) and cos (x) < \frac{200}{199}

0 < cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

0 < cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) > 0

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) < \frac{200}{199} :

Wahr für alle

x \in R

cos (x) < \frac{200}{199}

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < \frac{200}{199} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y < \frac{200}{199} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < \frac{200}{199} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < \frac{200}{199}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

sin (x) - 3 cos (x) < 1

(cos(x)(1+tan(x)))/(cos(x)(1-tan(x)))>0

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

sin((pix)/2)> 1/2

sin (\frac{π x}{2}) > \frac{1}{2}

sin(x)> 1/(sin(x))

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

\leq - 1 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \leq 3