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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2x)-5sin(x)+1=0

Lösung

3 cos (2 x) - 5 sin (x) + 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 x) - 5 sin (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + 3 cos (2 x) - 5 sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 + 3 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 5 sin (x)

Vereinfache

1 + 3 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 5 sin (x) : - 6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 4

1 + 3 (1 - 2 sin^{2} (x)) - 5 sin (x)

Multipliziere aus

3 (1 - 2 sin^{2} (x)) : 3 - 6 sin^{2} (x)

3 (1 - 2 sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x)

Vereinfache

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x) : 3 - 6 sin^{2} (x)

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 \cdot 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 3 - 6 sin^{2} (x)

= 3 - 6 sin^{2} (x)

= 1 + 3 - 6 sin^{2} (x) - 5 sin (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 3 = 4

= - 6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 4

= - 6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 4

4 - 5 sin (x) - 6 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

4 - 5 sin (x) - 6 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

4 - 5 u - 6 u^{2} = 0

4 - 5 u - 6 u^{2} = 0 : u = - \frac{4}{3}, u = \frac{1}{2}

4 - 5 u - 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} - 5 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} - 5 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = - 5, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 4}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 4}{2 ( - 6 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 4 = 11

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 4

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 4 = 96

= 5^{2} + 96

5^{2} = 25

= 25 + 96

Addiere die Zahlen:

25 + 96 = 121

= 121

Faktorisiere die Zahl:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 11}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 11}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 11}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 11}{2 ( - 6 )} : - \frac{4}{3}

\frac{- ( - 5 ) + 11}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 11}{- 2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

5 + 11 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{16}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{4}{3}

u = \frac{- ( - 5 ) - 11}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 11}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 11}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 11 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{4}{3}, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{4}{3}, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{4}{3}, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{4}{3} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{4}{3}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x+pi/2)= 1/2

sin (x + \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

8cos(x)+4=0

8 cos (x) + 4 = 0

tan(x)=sqrt(3),-pi<= x<pi

tan (x) = 3, - π \leq x < π

4cos(x)-4sin(x)=0

4 cos (x) - 4 sin (x) = 0

sqrt(3)csc(3x)=-2

3 csc (3 x) = - 2