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Beliebt Trigonometrie >

arctan(2x)+arctan(x)= pi/4

Lösung

arctan (2 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Lösung

x = \frac{17 - 3}{4}

Schritte zur Lösung

arctan (2 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (2 x) + arctan (x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{2 x + x}{1 - 2 xx})

arctan (\frac{2 x + x}{1 - 2 xx}) = \frac{π}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{2 x + x}{1 - 2 xx}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx} = 1

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx} = 1

Löse

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx} = 1 : x = - \frac{3 + 17}{4}, x = \frac{17 - 3}{4}

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx} = 1

Vereinfache

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx} : \frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}}

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx}

Addiere gleiche Elemente:

2 x + x = 3 x

= \frac{3 x}{1 - 2 xx}

1 - 2 xx = 1 - 2 x^{2}

1 - 2 xx

2 xx = 2 x^{2}

2 xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 2 x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 x^{2}

= 1 - 2 x^{2}

= \frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}}

\frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

1 - 2 x^{2}

\frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

1 - 2 x^{2}

\frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}} (1 - 2 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 2 x^{2})

Vereinfache

\frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}} (1 - 2 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 2 x^{2})

Vereinfache

\frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}} (1 - 2 x^{2}) : 3 x

\frac{3 x}{1 - 2 x ^{2}} (1 - 2 x^{2})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 x ( 1 - 2 x ^{2} )}{1 - 2 x ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - 2 x^{2}

= 3 x

Vereinfache

1 \cdot (1 - 2 x^{2}) : 1 - 2 x^{2}

1 \cdot (1 - 2 x^{2})

Multipliziere:

1 \cdot (1 - 2 x^{2}) = (1 - 2 x^{2})

= (1 - 2 x^{2})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 - 2 x^{2}

3 x = 1 - 2 x^{2}

3 x = 1 - 2 x^{2}

3 x = 1 - 2 x^{2}

Löse

3 x = 1 - 2 x^{2} : x = - \frac{3 + 17}{4}, x = \frac{17 - 3}{4}

3 x = 1 - 2 x^{2}

Tausche die Seiten

1 - 2 x^{2} = 3 x

Verschiebe

3 x

auf die linke Seite

1 - 2 x^{2} = 3 x

Subtrahiere

3 x

von beiden Seiten

1 - 2 x^{2} - 3 x = 3 x - 3 x

Vereinfache

1 - 2 x^{2} - 3 x = 0

1 - 2 x^{2} - 3 x = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 3, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 17

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Addiere die Zahlen:

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 ( - 2 )}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 ( - 2 )}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 ( - 2 )} : - \frac{3 + 17}{4}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 + 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 + 17}{4}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 ( - 2 )} : \frac{17 - 3}{4}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 - 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

3 - 17 = - (17 - 3)

= \frac{17 - 3}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - \frac{3 + 17}{4}, x = \frac{17 - 3}{4}

x = - \frac{3 + 17}{4}, x = \frac{17 - 3}{4}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

Nimm den/die Nenner von

\frac{2 x + x}{1 - 2 xx}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - 2 xx = 0 : x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

1 - 2 xx = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 xx = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 xx - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 xx = - 1

- 2 xx = - 1

Vereinfache

- 2 x^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 x ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

x^{2} = \frac{1}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

x = - \frac{3 + 17}{4}, x = \frac{17 - 3}{4}

x = - \frac{3 + 17}{4}, x = \frac{17 - 3}{4}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (2 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

- \frac{3 + 17}{4} :

Falsch

- \frac{3 + 17}{4}

Setze ein

n = 1

- \frac{3 + 17}{4}

Setze

x = - \frac{3 + 17}{4}

arctan (2 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

ein, um zu lösen

arctan (2 (- \frac{3 + 17}{4})) + arctan (- \frac{3 + 17}{4}) = \frac{π}{4}

Fasse zusammen

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{17 - 3}{4} :

Wahr

\frac{17 - 3}{4}

Setze ein

n = 1

\frac{17 - 3}{4}

Setze

x = \frac{17 - 3}{4}

arctan (2 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

ein, um zu lösen

arctan (2 \cdot \frac{17 - 3}{4}) + arctan (\frac{17 - 3}{4}) = \frac{π}{4}

Fasse zusammen

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{17 - 3}{4}

Graph

Beliebte Beispiele

tan(a)=1

tan (a) = 1

cos(2θ)=2,cos^2(θ)-1=2,(-3/5)^2-1=-7/25

cos (2 θ) = 2, cos^{2} (θ) - 1 = 2, (- \frac{3}{5})^{2} - 1 = - \frac{7}{25}

2sin(2θ)=1,0<= θ<= 2pi

2 sin (2 θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π

2cos^2(x)-3sin(x)=3

2 cos^{2} (x) - 3 sin (x) = 3

14cos(θ)-5=5cos(θ)-5

14 cos (θ) - 5 = 5 cos (θ) - 5