интеграл от x/((1+x^2)^2)arctan(x)

Решение

\int \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} arctan (x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))) + C

Шаги решения

\int \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} arctan (x) d x

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \int \frac{x arctan ( x )}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{u tan ( u )}{sec ^{2} ( u )} d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1}{2} u sin (2 u) d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int u sin (2 u) d u

Применить интегрирование по частям

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u cos (2 u) - \int - \frac{1}{2} cos (2 u) d u)

\int - \frac{1}{2} cos (2 u) d u = - \frac{1}{4} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u cos (2 u) - (- \frac{1}{4} sin (2 u)))

Делаем обратную замену

u = arctan (x)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) - (- \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))))

После упрощения получаем

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x)))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))) + C