integral of (sqrt(16-x^2))

Lösung

\int (16 - x^{2}) d x

8 (arcsin (\frac{1}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 16 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 16 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 16 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 16 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{4} x)

ein

= 16 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x)))

Vereinfache

16 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x))) : 8 (arcsin (\frac{1}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x)))

= 8 (arcsin (\frac{1}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (arcsin (\frac{1}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x))) + C

\int \frac{2 x + 1}{x ^{3} + x} d x

in t e g r a l x ln (x)

\int 2^{\frac{x}{5}} d x

\int \frac{1}{9 + 5 x ^{2}} d x

\int (10 x^{4} + 2 x + 1) d x