integral of sqrt(1-9t^2)

Lösung

\int 1 - 9 t^{2} d t

\frac{1}{6} (arcsin (3 t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (3 t))) + C

Schritte zur Lösung

\int 1 - 9 t^{2} d t

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{3} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (3 t)

ein

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (3 t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (3 t)))

Vereinfache

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (3 t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (3 t))) : \frac{1}{6} (arcsin (3 t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (3 t)))

= \frac{1}{6} (arcsin (3 t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (3 t)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (arcsin (3 t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (3 t))) + C

\int (x + 3) x - 1 d x

\int \frac{( x ^{9} )}{1 + x ^{20}} d x

in t e g r a l x e^{x}

\int 2 x cos (4 x) d x

\int sin^{4} (\frac{x}{8}) cos (\frac{x}{8}) d x