integral of-xcos((nxpi)/l)

解

\int - x cos (\frac{n x π}{l}) d x

- l \frac{1}{πn} x sin (\frac{πn x}{l}) - l \frac{l}{π ^{2} n ^{2}} cos (\frac{πn x}{l}) + C

解答ステップ

\int - x cos (\frac{n x π}{l}) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int x cos (\frac{n x π}{l}) d x

部分積分を適用する

= - (l \frac{1}{πn} x sin (\frac{πn x}{l}) - \int l \frac{1}{πn} sin (\frac{πn x}{l}) d x)

\int l \frac{1}{πn} sin (\frac{πn x}{l}) d x = - l \frac{l}{π ^{2} n ^{2}} cos (\frac{πn x}{l})

= - (l \frac{1}{πn} x sin (\frac{πn x}{l}) - (- l \frac{l}{π ^{2} n ^{2}} cos (\frac{πn x}{l})))

簡素化

= - l \frac{1}{πn} x sin (\frac{πn x}{l}) - l \frac{l}{π ^{2} n ^{2}} cos (\frac{πn x}{l})

定数を解答に追加する

= - l \frac{1}{πn} x sin (\frac{πn x}{l}) - l \frac{l}{π ^{2} n ^{2}} cos (\frac{πn x}{l}) + C