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Popolare Trigonometria >

csc((15pi)/8)

Soluzione

csc (\frac{15 π}{8})

Soluzione

- 2 2 - 2 - 2 2 - 2

Decimale

- 2.61312 \dots

Fasi della soluzione

csc (\frac{15 π}{8})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

\frac{1}{sin ( \frac{15 π}{8} )}

csc (\frac{15 π}{8})

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( \frac{15 π}{8} )}

= \frac{1}{sin ( \frac{15 π}{8} )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

sin (\frac{15 π}{8}) = - \frac{2 - 2}{2}

sin (\frac{15 π}{8})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

- \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{4} )}{2}

sin (\frac{15 π}{8})

Scrivere

sin (\frac{15 π}{8})

come

sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})

= sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})

Usare l'Identità Metà Angolo:

sin (\frac{θ}{2}) = - \frac{1 - cos ( θ )}{2}

Usare l'Identità Doppio Angolo

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Sostituisci

θ

con

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

Scambia i lati

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

Dividere entrambi i lati per

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Estrai la radice quadrata da entrambi i lati

Scegli il segno della radice secondo lo stesso quadrante di

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrante I II III I V sin positivo positivo negativo negativo cos positivo negativo negativo positivo

sin (\frac{θ}{2}) = - \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= - \frac{1 - cos ( \frac{15 π}{4} )}{2}

cos (\frac{15 π}{4}) = cos (\frac{7 π}{4})

cos (\frac{15 π}{4})

Riscrivi

\frac{15 π}{4}

come

2 π + \frac{7 π}{4}

= cos (2 π + \frac{7 π}{4})

Applicare la periodicità di

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + \frac{7 π}{4}) = cos (\frac{7 π}{4})

= cos (\frac{7 π}{4})

= - \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{4} )}{2}

= - \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{4} )}{2}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

cos (\frac{7 π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{7 π}{4})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

cos (π) cos (\frac{3 π}{4}) - sin (π) sin (\frac{3 π}{4})

cos (\frac{7 π}{4})

Scrivere

cos (\frac{7 π}{4})

come

cos (π + \frac{3 π}{4})

= cos (π + \frac{3 π}{4})

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{3 π}{4}) - sin (π) sin (\frac{3 π}{4})

= cos (π) cos (\frac{3 π}{4}) - sin (π) sin (\frac{3 π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}

cos (\frac{3 π}{4})

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

Usare la seguente identità triviale:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{3 π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{3 π}{4})

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= (- 1) (- \frac{2}{2}) - 0 \cdot \frac{2}{2}

Semplificare

= \frac{2}{2}

= - \frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

Semplificare

- \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} : - \frac{2 - 2}{2}

- \frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

Unisci

1 - \frac{2}{2} : \frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2}{4}

= - \frac{2 - 2}{4}

Semplifica

\frac{2 - 2}{4} : \frac{2 - 2}{2}

\frac{2 - 2}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 - 2}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 - 2}{2}

= - \frac{2 - 2}{2}

= - \frac{2 - 2}{2}

= \frac{1}{- \frac{2 - 2}{2}}

Semplificare

\frac{1}{- \frac{2 - 2}{2}} : - 2 2 - 2 - 2 2 - 2

\frac{1}{- \frac{2 - 2}{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{\frac{2 - 2}{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

\frac{1}{\frac{2 - 2}{2}} = \frac{2}{2 - 2}

= - \frac{2}{2 - 2}

Razionalizzare

- \frac{2}{2 - 2} : - 2 2 - 2 - 2 2 - 2

- \frac{2}{2 - 2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2 - 2}{2 - 2}

= - \frac{2 2 - 2}{2 - 2 2 - 2}

2 - 2 2 - 2 = 2 - 2

2 - 2 2 - 2

Applicare la regola della radice:

a a = a

2 - 2 2 - 2 = 2 - 2

= 2 - 2

= - \frac{2 2 - 2}{2 - 2}

Cancellare

\frac{2 2 - 2}{2 - 2} : \frac{2 2 - 2}{2 - 1}

\frac{2 2 - 2}{2 - 2}

Fattorizza

2 - 2 : 2 (2 - 1)

2 - 2

2 = 22

= 22 - 2

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 2 - 2}{2 ( 2 - 1 )}

Cancellare

\frac{2 2 - 2}{2 ( 2 - 1 )} : \frac{2 2 - 2}{2 - 1}

\frac{2 2 - 2}{2 ( 2 - 1 )}

Applicare la regola della radice:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 2 - 2}{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 - 1 )}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{- \frac{1}{2} + 1} 2 - 2}{2 - 1}

Sottrai i numeri:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} 2 - 2}{2 - 1}

Applicare la regola della radice:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 2 - 2}{2 - 1}

= \frac{2 2 - 2}{2 - 1}

= - \frac{2 2 - 2}{2 - 1}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2 + 1}{2 + 1}

= - \frac{2 2 - 2 ( 2 + 1 )}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )}

2 2 - 2 (2 + 1) = 2 2 - 2 + 2 2 - 2

2 2 - 2 (2 + 1)

= 2 (2 + 1) 2 - 2

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 2 2 - 2, b = 2, c = 1

= 2 2 - 2 2 + 2 2 - 2 \cdot 1

= 22 2 - 2 + 1 \cdot 2 2 - 2

Semplifica

22 2 - 2 + 1 \cdot 2 2 - 2 : 2 2 - 2 + 2 2 - 2

22 2 - 2 + 1 \cdot 2 2 - 2

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2 2 - 2 + 1 \cdot 2 2 - 2

Moltiplicare:

1 \cdot 2 = 2

= 2 2 - 2 + 2 2 - 2

= 2 2 - 2 + 2 2 - 2

(2 - 1) (2 + 1) = 1

(2 - 1) (2 + 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 1^{2}

Semplifica

(2)^{2} - 1^{2} : 1

(2)^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 2

= 2 - 1

Sottrai i numeri:

2 - 1 = 1

= 1

= 1

= - \frac{2 2 - 2 + 2 2 - 2}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= - (2 2 - 2 + 2 2 - 2)

Distribuire le parentesi

= - (2 2 - 2) - (2 2 - 2)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 2 2 - 2 - 2 2 - 2

= - 2 2 - 2 - 2 2 - 2

= - 2 2 - 2 - 2 2 - 2

Esempi popolari